Propagation de fronts et p-laplacien normalisé sur graphes : algorithmes et applications au traitement d'images et de données.

This work deals with the transcription of continuous partial derivative equations to arbitrary discrete domains by exploiting the formalism of partial difference equations defined on weighted graphs. In the first part, we propose a transcription of the normalized p-Laplacian operator to the graph domains as a linear combination between the non-local infinity Laplacian and the normalized Laplacian (both in their discrete version). This adaptation can be considered as a new class of p-Laplacian operators on graphs that interpolate between non-local infinity Laplacian and normalized Laplacian. In the second part, we present an adaptation of fronts propagation equations on weighted graphs. These equations are obtained by the transcription of the continuous level sets method to a discrete formulation on the graphs domain. Beyond the transcription in itself, we propose a very general formulation and efficient algorithms for the simultaneous propagation of several fronts on a single graph. Both transcription of the p-Laplacian operator and level sets method enable many applications in image segmentation and data clustering that are illustrated in this manuscript. Finally, in the third part, we present a concrete application of the different tools proposed in the two previous parts for computer aided diagnosis. We also present the Antarctic software that was developed during this PhD.Cette thèse s'intéresse à la transcription d'équations aux dérivées partielles vers des domaines discrets en exploitant le formalisme des équations aux différences partielles définies sur des graphes pondérés. Dans une première partie, nous proposons une transcription de l'opérateur p-laplacien normalisé au domaine des graphes comme une combinaison linéaire entre le laplacien infini non-local et le laplacien normalisé (ces deux opérateurs étant discrets). Cette adaptation peut être considérée comme une nouvelle classe d'opérateurs p-laplaciens sur graphes, qui interpolent entre le laplacien infini non-local et le laplacien normalisé. Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux équations de propagation de fronts sur des graphes de topologie arbitraire. Ces équations sont obtenues par la transcription de la méthode des ensembles de niveaux, définie en continu, vers une formulation discrète définie sur le domaine des graphes. Au delà de la transcription en elle-même, nous proposons une formulation générale et des algorithmes efficaces pour la propagation simultanées de plusieurs fronts évoluant sur un graphe. Les approches proposées dans ces deux premières parties donnent lieu à de nombreuses applications en segmentation d'images et classification de données que nous illustrons dans ce manuscrit. Enfin, dans une troisième partie, nous présentons une application à l'aide au diagnostic informatisé concrétisant l'emploi des différents outils proposés dans les deux premières parties. Nous présentons également le logiciel Antarctic développé au cours de cette thèse