Mirror symmetry and special elliptic fibrations on K3 surfaces

Une surface K3 est une surface X complexe compacte projective lisse qui a fibré canonique trivial et h0;1(X) = 0. Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes pour ces surfaces. D'abord on considère des surfaces K3 obtenues comme recouvrement double de P2 ramifié le long d'une sextique. On classifie les fibrations elliptiques sur ces surfaces et leur groupe de Mordell-Weil, c'est-à-dire le groupe des sections. Vu que une section de 2-torsion définit une involution de la surface (dite involution de van Geemen-Sarti), alors en classifiant les fibrations et les section de 2-torsion on obtient une classification complète des involutions de van Geemen-Sarti sur ce type de surfaces K3. On montre aussi comment calculer l'équation de la fibration et on étudie le quotient par l'involution de van Geemen-Sarti. Ensuite on montre la construction de Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR): il s'agit d'une construction miroir qui part d'un polynôme dans un espace projectif à poids et d'un groupe d'automorphismes (avec certaines propriétés) et qui donne, en toute dimension, des paires de variétés Calabi-Yau. Ces deux variétés sont l'une miroir de l'autre en sense classique. On classifie toutes les paires de surfaces K3 obtenues avec cette construction qui aient en plus un automorphisme non{symplectique d'ordre premier p > 3. Pour les surfaces K3 une autre notion de symétrie miroir a été introduite par Dolgachev et Nikulin : la symétrie pour K3 polarisées (LPK3). On montre dans la thèse comment polariser les surfaces obtenues avec la construction BHCR et on preuve que deux surfaces miroir au sense BHCR, dûment polarisées, appartiennent à deux familles miroir LPK3.A K3 surface is a complex compact projective surface X which is smooth and such that its canonical bundle is trivial and h0;1(X) = 0. In this thesis we study two different topics about K3 surfaces. First we consider K3 surfaces obtained as double covering of P2 branched on a sextic curve. For these surfaces we classify elliptic fibrations and their Mordell-Weil group, i.e. the group of sections. A 2-torsion section induces a symplectic involution of the surface, called van Geemen-Sarti involution. The classification of elliptic fibrations and 2-torsion sections allows us to classify all van Geemen-Sarti involutions on the class of K3 surfaces we are considering. Moreover, we give details in order to obtain equations for the elliptic fibrations and their quotient by the van Geemen-Sarti involutions. Then we focus on the mirror construction of Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR). This construction starts from a polynomial in a weighted projective space together with a group of diagonal automorphisms (with some properties) and gives a pair of Calabi-Yau varieties which are mirror in the classical sense. The construction works for any dimension. We use this construction to obtain pairs of K3 surfaces which carry a non-symplectic automorphism of prime order p > 3. Dolgachev and Nikulin proposed another notion of mirror symmetry for K3 surfaces: the mirror symmetry for lattice polarized K3 surfaces (LPK3). In this thesis we show how to polarize the K3 surfaces obtained from the BHCR construction and we prove that these surfaces belong to LPK3 mirror families