Yamabe flow with prescribed scalar curvature

Cette thèse est consacrée à l'étude d'une famille des flots géométriques associés au problème de la courbure scalaire prescrite sur une variété riemannienne compacte. Plus précisément, si on désigne par (M,g0) une variété riemannienne compacte de dimension n≥3, et si F∈C∞ (M) est une fonction donnée, le problème de la courbure scalaire prescrite consiste à trouver une métrique g conforme à g0 telle que F soit sa courbure scalaire. Ce problème est équivalent à la résolution de l'EDP suivante :-4 (n-1)/(n-2) ∆u+R0 u=Fu((n+2)/(n-2 )) , u>0 , (E), Où R0 est la courbure scalaire de la métrique initiale g0 et ∆ est le laplacien associé à g0. Il s'agit d'une équation elliptique non-linéaire dont la difficulté principale provient du terme u((n+2)/(n-2 )). Hormis le cas de la sphère standard Sn , tous les travaux consacrés à l'étude de l'équation (E) sont basés sur la méthode variationnelle. Dans cette thèse, on développe une autre approche basée sur l'étude d'une famille de flots géométriques qui permet, entre autres, de résoudre l'équation (E). La question dépend bien entendu de la métrique initiale g0 et en particulier du signe de sa courbure scalaire R0. Les flots introduits sont des flots de gradient associés à deux fonctionnelles distinctes dépendant du signe de R0. La première partie de cette thèse est consacrée au cas R00. Dans les deux cas, on démontre l'existence globale du flot et on étudie son comportement asymptotique à l'infini.This thesis is devoted to the study of a family of geometric flows associated with the prescribed scalar curvature problem. More precisely, if we denote by (M,g0) a compact riemannian manifold with dimension n≥3, and if F∈C∞ (M) is a given function, the prescribed scalar curvature problem consists of finding a conformal metric g to g0 such that F is its scalar curvature. This problem is equivalent to the resolution of the following PDE : -4 (n-1)/(n-2) ∆u+R0 u=Fu((n+2)/(n-2 )) , u>0 , (E), Where R0 is the scalar curvature of the initial metric g0 and ∆ is the laplacian associated with g0.It is a nonlinear elliptic equation, whose the main difficulty comes from the term u((n+2)/(n-2 )). Apart from the case of the standard sphere Sn all the works that study the equation (E) are based on the variational method. In this thesis, we develop another approach based on the study of a family of geometric flows which allows to solve equation (E).The flows introduced are gradient flows associated with two distinct functional functions depending on the sign of R0.The first part of this thesis is devoted to the case R00. In both cases, our aim is to proof the global existence of the flow and study its asymptotic behavior at infinity