Almost automorphic functions and applications to dynamic equations on time scales.

Dans cette thèse, nous affinons l'étude des fonctions presque automorphes sur time scales introduites dans la littérature par Lizama et Mesquita, nous explorons de nouvelles propriétés de ces fonctions et appliquons les résultats à étudier l'existence et l'unicité de solution presque automorphe d'une nouvelle classe d'équations dynamiques sur time scales. Puis nous introduisons la notion de fonction presque automorphe de classe Cn, nous investiguons les propriétés fondamentales de ces fonctions et utilisons les résultats pour établir l'existence, l'unicité et la stabilité globale et exponentielle de solution presque automorphe de classe C1 d'un système d'équations dynamiques avec délai variable fini modélisant un réseau de neurones. Ensuite nous présentons le concept de fonctions asymptotiquement presque automorphes de classe Cn. Nous démontrons quasiment toutes les propriétés de ces fonctions, lesquelles nous permettent, sous des hypothèses convenables, d'établir, d'une part, que l'unique solution d'un problème avec condition initiale est asymptotiquement presque automorphe de classe C1, et d'autre part, l'existence et l'unicité de solution asymptotiquement presque automorphe pour une équation intégro-dynamque avec conditon initiale non locale sur time scales. Enfin, en utilisant la notion de semi-groupe sur time scales de Hamza et Oraby, nous généralisons les résultats de Lizama et Mesquita en dimension infinie, c'est-à-dire, nous étudions l'existence et l'unicité des solutions presque automorphes pour des équations dynamiques semi linéaires abstraites sur time scales.In this thesis, we refine the notion of almost automorphic functions on time scales introduced in the literature by Lizama and Mesquita, we explore some new properties of such functions and apply the results to study the existence and uniqueness of almost automorphic solution for a new class of dynamic equations on time scales. Then we introduce the concept of almost automorphic functions of order n on time scales, we investigate the fundamental properties of these functions and we use the findings to establish the existence and uniqueness and the global stability of almost automorphic solution of one to a first order dynamical equation with finite time varying delay. Then we present the concept of asymptotically almost automorphic functions of order n on time scales. We study the properties of these functions and we use the results to prove, under suitable hypothesis, that the unique solution to a problem with initial condition is asymptotically almost automorphic of order one at the one hand, and the existence and uniqueness of asymptotically almost automorphic solution for an integro-dynamic equation with nonlocal initial conditon on time scales in other hand. Finally, using the concept of semigroup on time scales introduced by Hamza and Oraby, we generalize the results in Lizama and Mesquita's paper for abstract Banach spaces, that is, we study the existence and uniqueness of almost automorphic solution for semilinear abstract dynamic equations on time scales