Mise en évidence de comportements non linéaires pour des systèmes de Schrödinger cubiques couplés

L’objectif de ce travail est de proposer une étude de divers comportements non linéaires pour un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées. Selon le choix de l’espace des positions, nous mettons en évidence différents exemples de comportements non linéaires. Dans le premier chapitre, nous introduisons les notions et outils nécessaires à la compréhension de l’enjeu. En particulier, nous justifions ce choix de modèle par des résultats récents sur l’équation de Schrödinger non linéaire. Le second chapitre est dédié à l’étude de ce système sur le tore (une coordonnée périodique). Nous mettons en évidence un échange d’énergie en temps long (mais fini) entre différents modes de Fourier des solutions : c’est l’effet de battement (éventuellement décalé). Le troisième chapitre porte sur l’étude du système sur la droite réelle (une coordonnée euclidienne). Nous mettons en place un résultat de scattering modifié pour obtenir un comportement non linéaire en temps infini. Enfin, dans le quatrième chapitre, nous nous plaçons dans un espace produit (une coordonnée euclidienne et une coordonnée périodique). Nous exhibons alors le résultat principal de cette thèse : un échange d’énergie en temps infini via un résultat de scattering modifié.The aim of this work is to propose a study of various nonlinear behaviors for a system of two coupled cubic Schrödinger equations. Depending on the choice of the spatial domain, we highlight different examples of nonlinear behaviors. In the first chapter, we introduce the notions and tools needed to understand the issue. In particular, we justify this choice of model by recent results on the nonlinear Schrödinger equation. The second chapter is dedicated to the study of this system on the torus (one periodic coordinate). Here, we exhibit an energy exchange for long (but finite) times between different Fourier modes of the solutions: this is the (possibly shifted) beating effect. The third chapter deals with the study of the system on the real line (one Euclidean coordinate). We set up a modified scattering result to get a nonlinear behavior in infinite time. Finally, in the fourth chapter, we consider a product space (one Euclidean coordinate and one periodic coordinate). We obtain the main result of this thesis: an energy exchange in infinite time thanks to a modified scattering result