Hierarchical robustness analysis of uncertain large scale systems

Ces travaux de thèse concernent l'analyse de la robustesse (stabilité et performance) de systèmes linéaires incertains de grande dimension avec une structure hiérarchique. Ces systèmes sont obtenus en interconnectant plusieurs sous-systèmes incertains à travers une topologie hiérarchique. L'analyse de la robustesse de ces systèmes est un problème à deux aspects : la robustesse et la grande dimension. La résolution efficace de ce problème en utilisant les approches usuelles est difficile, voire impossible, à cause de la complexité et de la grande taille du problème d'optimisation associé. La conséquence de cette complexité est une augmentation importante du temps de calcul nécessaire pour résoudre ce problème d'optimisation. Afin de réduire ce temps de calcul, les travaux existants ne considèrent que des classes particulières de systèmes linéaires incertains de grande dimension. De plus, la structure hiérarchique de ces systèmes n'est pas prise en compte, ce qui montre, de notre point de vue, les limitations de ces résultats. Notre objectif est d'exploiter la structure hiérarchique de ces systèmes afin de ramener la résolution du problème d'analyse de grande taille à la résolution d'un ensemble de problèmes d'analyse de faible taille, ce qui aura comme conséquence une diminution du temps de calcul. De plus, un autre avantage de cette approche est la possibilité de résoudre ces problèmes en même temps en utilisant le calcul parallèle. Afin de prendre en compte la structure hiérarchique du système incertain de grande dimension, nous modélisons ce dernier comme l'interconnexion de plusieurs sous-systèmes incertains qui sont eux-mêmes l'interconnexion d'autres sous-systèmes incertains, etc.. Cette technique récursive de modélisation est faite sur plusieurs niveaux hiérarchiques. Afin de réduire la complexité de la représentation des systèmes incertains, nous construisons une base de propriétés de dissipativité pour chaque sous-système incertain de chaque niveau hiérarchique. Cette base contient plusieurs éléments qui caractérisent des informations utiles sur le comportement de systèmes incertains. Des exemples de telles caractérisations sont : la caractérisation de la phase incertaine, la caractérisation du gain incertain, etc.. L'obtention de chaque élément est relaxée comme un problème d'optimisation convexe ou quasi-convexe sous contraintes LMI. L'analyse de la robustesse de systèmes incertains de grande dimension est ensuite faite de façon hiérarchique en propageant ces bases de propriétés de dissipativité d'un niveau hiérarchique à un autre. Nous proposons deux algorithmes d'analyse hiérarchique qui permettent de réduire le temps de calcul nécessaire pour analyser la robustesse de ces systèmes. Un avantage important de notre approche est la possibilité d'exécuter des parties de ces algorithmes de façon parallèle à chaque niveau hiérarchique ce qui diminuera de façon importante ce temps de calcul. Pour finir et dans le même contexte de système de grande dimension, nous nous intéressons à l'analyse de la performance dans les réseaux électriques et plus particulièrement «l'analyse du flux de puissances incertaines dans les réseaux électriques de distribution». Les sources d'énergies renouvelables comme les éoliennes et les panneaux solaires sont influencées par plusieurs facteurs : le vent, l'ensoleillement, etc.. Les puissances générées par ces sources sont alors intermittentes, variables et difficiles à prévoir. L'intégration de telles sources de puissance dans les réseaux électriques influencera les performances en introduisant des incertitudes sur les différentes tensions du réseau. L'analyse de l'impact des incertitudes de puissances sur les tensions est appelée «analyse du flux de puissances incertaines». La détermination de bornes sur les modules des différentes tensions est formulée comme un problème d'optimisation convexe sous contraintes LMI.This PhD thesis concerns robustness analysis (stability and performance) of uncertain large scale systems with hierarchical structure. These systems are obtained by interconnecting several uncertain sub-systems through a hierarchical topology. Robustness analysis of these systems is a two aspect problem: robustness and large scale. The efficient resolution of this problem using usual approaches is difficult, even impossible, due to the high complexity and the large size of the associated optimization problem. The consequence of this complexity is an important increase of the computation time required to solve this optimization problem. In order to reduce this computation time, the existing results in the literature focus on particular classes of uncertain linear large scale systems. Furthermore, the hierarchical structure of the large scale system is not taken into account, which means, from our point of view, that these results have several limitations on different levels. Our objective is to exploit the hierarchical structure to obtain a set of small scale size optimization problems instead of one large scale optimization problem which will result in an important decrease in the computation time. Furthermore, another advantage of this approach is the possibility of solving these small scale optimization problems in the same time using parallel computing. In order to take into account the hierarchical structure, we model the uncertain large scale system as the interconnection of uncertain sub-systems which themselves are the interconnection of other uncertain sub-systems, etc.. This recursive modelling is performed at several hierarchical levels. In order to reduce the representation complexity of uncertain systems, we construct a basis of dissipativity properties for each uncertain sub-system at each hierarchical level. This basis contains several elements which characterize different useful information about uncertain system behaviour. Examples of such characterizations are: uncertain phase characterization, uncertain gain characterization, etc.. Obtaining each of these elements is relaxed as convex or quasi-convex optimization problem under LMI constraints. Robustness analysis of uncertain large scale systems is then performed in a hierarchical way by propagating these dissipativity property bases from one hierarchical level to another. We propose two hierarchical analysis algorithms which allow to reduce the computation time required to perform the robustness analysis of the large scale systems. Another key point of these algorithms is the possibility to be performed in parallel at each hierarchical level. The advantage of performing robustness analysis in parallel is an important decrease of the required computation time. Finally and within the same context of robustness analysis of uncertain large scale systems, we are interested in robustness analysis of power networks and more precisely in "the uncertain power flow analysis in distribution networks". The renewable energy resources such as solar panels and wind turbines are influenced by many factors: wind, solar irradiance, etc.. Therefore, the power generated by these resources is intermittent, variable and difficult to predict. The integration of such resources in power networks will influence the network performances by introducing uncertainties on the different network voltages. The analysis of the impact of power uncertainties on the voltages is called "uncertain power flow analysis". Obtaining the boundaries for the different modulus of these voltages is formulated as a convex optimization problem under LMI constraint