Spectral analysis and asymptotic behavior of solutions of some transport equations

Cette thèse est consacrée à la théorie spectrale de quelques opérateurs de transport et le comportement asymptotique (pour les temps grands) des solutions des problèmes de Cauchy gouvernés par ces derniers. Dans la première partie, on s'est intéressé aux propriétés spectrales des opérateurs d'advection et de transport des neutrons dans le cadre multidimensionnel pour des conditions aux limites générales. Après avoir établi un résultat de compacité de type lemmes de moyenne indispensable dans notre analyse, on a donné entre autre une description fine du spectre asymptotique de l'opérateur de transport. Ce travail a été complété par l'étude des propriétés de régularité et le comportement asymptotique de la solution du problème de Cauchy gouverné par l'opérateur de transport étudié précédemment pour des conditions aux limites de type bounce-back plus un opérateur compact dans l'espace L^1. Ensuite, on a étudié le caractère bien posé et le comportement asymptotique de la solution d'une équation de transport des neutrons avec des sections efficaces non bornées. Contrairement à la première partie, l'analyse de ce problème nécessite l'usage d'une théorie de perturbation de Miyadera-Voigt pour les opérateurs non bornés. La dernière partie de ce travail porte sur un problème linéaire issu d'un modèle introduit en 1974 par Lebowitz et Rubinow décrivant la prolifération d'une population de cellules structuré par l'âge et la longueur du cycle. Notre analyse a porté sur le cas où la longueur du cycle maximale est infinie.This thesis is devoted to the spectral theory and the time asymptotic behavior of the solution to Cauchy problems governed by various transport operators. In the first part, we discussed the spectral properties of streaming and transport operators in finite bodies with general boundary conditions. After establishing a compactness result essential to our analysis, we gave a fine description of the asymptotic spectrum of the transport operator. We also derive the regularity and the asymptotic behavior of the solution to Cauchy problem governed by the transport operator supplemented by bounce-back boundary conditions plus a compact operator in the space L^1. In the second part, we discussed the well-posedness and the asymptotic behavior of the solution to Cauchy problem governed by a singular transport operator. Unlike the first part, the analysis of this problem requires the use of Miyadera-Voigt perturbation theory for unbounded operators. In the last part of this work, a Cauchy problem governed by a linear operator introduced by Lebowitz and Rubinow describing a proliferating cell population structured by age and the cycle length was considered. Here our analysis was devoted to the case where the maximum cycle length is infinite