Optimisation sous contrainte probabilistes : et applications en Management d’Energie

Les contraintes en probabilité constituent un modèle pertinent pour gérer les incertitudes dans les problèmes de décision. En management d’énergie de nombreux problèmes d’optimisation ont des incertitudes sous-jacentes. En particulier c’est le cas des problèmes de gestion de la production au court-terme. Dans cette Thèse, nous investiguons les contraintes probabilistes sous l’angle théorique, algorithmique et applicative. Nous donnons quelques nouveaux résultats de différentiabilité des contraintes en probabilité et de convexité des ensembles admissibles. Des nouvelles variantes des méthodes de faisceaux « proximales » et « de niveaux » sont spécialement mises au point pour traiter des problèmes d’optimisation convexe sous contrainte en probabilité. Ces algorithmes gèrent en particulier, les erreurs d’évaluation de la contrainte en probabilité, ainsi que son gradient. La convergence vers une solution du problème est montrée. Enfin, nous examinons deux applications : l’optimisation d’une vallée hydraulique sous incertitude sur les apports et l’optimisation d’un planning de production sous incertitude sur la demande. Dans les deux cas nous utilisons une contrainte en probabilité pour gérer les incertitudes. Les résultats numériques présentés semblent montrer la faisabilité de résoudre des problèmes d’optimisation avec une contrainte en probabilité jointe portant sur un système de environ 200 contraintes. Il s’agit de l’ordre de grandeur nécessaire pour les applications. Les nouveaux résultats de différentiabilité concernent à la fois des contraintes en probabilité portant sur des systèmes linéaires et non-linéaires. Dans le deuxième cas, la convexité dans l’argument représentant le vecteur incertain est requise. Ce vecteur est supposé suivre une loi Gaussienne ou Student multi-variée. Les formules de gradient permettent l’application directe d’un schéma d’évaluation numérique efficient. Pour les contraintes en probabilité qui peuvent se réécrire à l’aide d’une Copule, nous donnons de nouveau résultats de convexité pour l’ensemble admissibles. Ces résultats requirent la concavité généralisée de la Copule, les distributions marginales sous-jacents et du système d’incertitude. Il est suffisant que ces propriétés de concavité généralisée tiennent sur un ensemble spécifique.In optimization problems involving uncertainty, probabilistic constraints are an important tool for defining safety of decisions. In Energy management, many optimization problems have some underlying uncertainty. In particular this is the case of unit commitment problems. In this Thesis, we will investigate probabilistic constraints from a theoretical, algorithmic and applicative point of view. We provide new insights on differentiability of probabilistic constraints and on convexity results of feasible sets. New variants of bundle methods, both of proximal and level type, specially tailored for convex optimization under probabilistic constraints, are given and convergence shown. Both methods explicitly deal with evaluation errors in both the gradient and value of the probabilistic constraint. We also look at two applications from energy management: cascaded reservoir management with uncertainty on inflows and unit commitment with uncertainty on customer load. In both applications uncertainty is dealt with through the use of probabilistic constraints. The presented numerical results seem to indicate the feasibility of solving an optimization problem with a joint probabilistic constraint on a system having up to 200 constraints. This is roughly the order of magnitude needed in the applications. The differentiability results involve probabilistic constraints on uncertain linear and nonlinear inequality systems. In the latter case a convexity structure in the underlying uncertainty vector is required. The uncertainty vector is assumed to have a multivariate Gaussian or Student law. The provided gradient formulae allow for efficient numerical sampling schemes. For probabilistic constraints that can be rewritten through the use of Copulae, we provide new insights on convexity of the feasible set. These results require a generalized concavity structure of the Copulae, the marginal distribution functions of the underlying random vector and of the underlying inequality system. These generalized concavity properties may hold only on specific sets