Equilibrage de charge pour des simulations multi-physiques par partitionnement multcritères de graphes

Les simulations dites multi-physiques couplent plusieurs phases de calcul. Lorsqu’elles sont exécutées en parallèle sur des architectures à mémoire distribuée, la minimisation du temps de restitution nécessite dans la plupart des cas d’équilibrer la charge entre les unités de traitement, pour chaque phase de calcul. En outre, la distribution des données doit minimiser les communications qu’elle induit. Ce problème peut être modélisé comme un problème de partitionnement de graphe multi-critères. On associe à chaque sommet du graphe un vecteur de poids, dont les composantes, appelées « critères », modélisent la charge de calcul porté par le sommet pour chaque phase de calcul. Les arêtes entre les sommets, indiquent des dépendances de données, et peuvent être munies d’un poids reflétant le volume de communication transitant entre les deux sommets. L’objectif est de trouver une partition des sommets équilibrant le poids de chaque partie pour chaque critère, tout en minimisant la somme des poids des arêtes coupées, appelée « coupe ». Le déséquilibre maximum toléré entre les parties est prescrit par l’utilisateur. On cherche alors une partition minimisant la coupe, parmi toutes celles dont le déséquilibre pour chaque critère est inférieur à cette tolérance. Ce problème étant NP-Dur dans le cas général, l’objet de cette thèse est de concevoir et d’implanter des heuristiques permettant de calculer efficacement de tels partitionnements. En effet, les outils actuels renvoient souvent des partitions dont le déséquilibre dépasse la tolérance prescrite. Notre étude de l’espace des solutions, c’est-à-dire l’ensemble des partitions respectant les contraintes d’équilibre, révèle qu’en pratique, cet espace est immense. En outre, nous prouvons dans le cas mono-critère qu’une borne sur les poids normalisés des sommets garantit que l’espace des solutions est non-vide et connexe. Nous fondant sur ces résultats théoriques, nous proposons des améliorations de la méthode multi-niveaux. Les outils existants mettent en oeuvre de nombreuses variations de cette méthode. Par l’étude de leurs codes sources, nous mettons en évidence ces variations et leurs conséquences à la lumière de notre analyse sur l’espace des solutions. Par ailleurs, nous définissons et implantons deux algorithmes de partitionnement initial, se focalisant sur l’obtention d’une solution à partir d’une partition potentiellement déséquilibrée, au moyen de déplacements successifs de sommets. Le premier algorithme effectue un mouvement dès que celui-ci améliore l’équilibre, alors que le second effectue le mouvement réduisant le plus le déséquilibre. Nous présentons une structure de données originale, permettant d’optimiser le choix des sommets à déplacer, et conduisant à des partitions de déséquilibre inférieur en moyenne aux méthodes existantes. Nous décrivons la plate-forme d’expérimentation, appelée Crack, que nous avons conçue afin de comparer les différents algorithmes étudiés. Ces comparaisons sont effectuées en partitionnant un ensembles d’instances comprenant un cas industriel et plusieurs cas fictifs. Nous proposons une méthode de génération de cas réalistes de simulations de type « transport de particules ». Nos résultats démontrent la nécessité de restreindre les poids des sommets lors de la phase de contraction de la méthode multi-niveaux. En outre, nous mettons en évidence l’influence de la stratégie d’ordonnancement des sommets, dépendante de la topologie du graphe, sur l’efficacité de l’algorithme d’appariement « Heavy-Edge Matching » dans cette même phase. Les différents algorithmes que nous étudions sont implantés dans un outil de partitionnement libre appelé Scotch. Au cours de nos expériences, Scotch et Crack renvoient une partition équilibrée à chaque exécution, là où MeTiS, l’outil le plus utilisé actuellement, échoue une grande partie du temps. Qui plus est, la coupe des solutions renvoyées par Scotch et Crack est équivalente ou meilleure que celle renvoyée par MeTiS.Multiphysics simulation couple several computation phases. When they are run in parallel on memory-distributed architectures, minimizing the simulation time requires in most cases to balance the workload across computation units, for each computation phase. Moreover, the data distribution must minimize the induced communication. This problem can be modeled as a multi-criteria graph partitioning problem. We associate with each vertex of the graph a vector of weights, whose components, called “criteria”, model the workload of the vertex for each computation phase. The edges between vertices indicate data dependencies, and can be given a weight representing the communication volume transferred between the two vertices. The goal is to find a partition of the vertices that both balances the weights of each part for each criterion, and minimizes the “edgecut”, that is, the sum of the weights of the edges cut by the partition. The maximum allowed imbalance is provided by the user, and we search for a partition that minimizes the edgecut, among all the partitions whose imbalance for each criterion is smaller than this threshold. This problem being NP-Hard in the general case, this thesis aims at devising and implementing heuristics that allow us to compute efficiently such partitions. Indeed, existing tools often return partitions whose imbalance is higher than the prescribed tolerance. Our study of the solution space, that is, the set of all the partitions respecting the balance constraints, reveals that, in practice, this space is extremely large. Moreover, we prove in the mono-criterion case that a bound on the normalized vertex weights guarantees the existence of a solution, and the connectivity of the solution space. Based on these theoretical results, we propose improvements of the multilevel algorithm. Existing tools implement many variations of this algorithm. By studying their source code, we emphasize these variations and their consequences, in light of our analysis of the solution space. Furthermore, we define and implement two initial partitioning algorithms, focusing on returning a solution. From a potentially imbalanced partition, they successively move vertices from one part to another. The first algorithm performs any move that reduces the imbalance, while the second performs at each step the move reducing the most the imbalance. We present an original data structure that allows us to optimize the choice of the vertex to move, and leads to partitions of imbalance smaller on average than existing methods. We describe the experimentation framework, named Crack, that we implemented in order to compare the various algorithms at stake. This comparison is performed by partitioning a set of instances including an industrial test case, and several fictitious cases. We define a method for generating realistic weight distributions corresponding to “Particles-in-Cells”-like simulations. Our results demonstrate the necessity to coerce the vertex weights during the coarsening phase of the multilevel algorithm. Moreover, we evidence the impact of the vertex ordering, which should depend on the graph topology, on the efficiency of the “Heavy-Edge” matching scheme. The various algorithms that we consider are implemented in an open- source graph partitioning software called Scotch. In our experiments, Scotch and Crack returned a balanced partition for each execution, whereas MeTiS, the current most used partitioning tool, fails regularly. Additionally, the edgecut of the solutions returned by Scotch and Crack is equivalent or better than the edgecut of the solutions returned by MeTiS