On probability measure preserving full groups

Soit (X, μ) un espace de probabilité standard et Γ un groupe dénombrable agissant sur X de manière à préserver la mesure de probabilité (p.m.p.). La partition de l’espace X en orbites induite par l’action de Γ est entièrement encodée par le groupe plein de l’action, constitué de l’ensemble des bijections boréliennes de l’espace qui agissent par permutation sur chaque orbite. Plus précisément, le théorème de reconstruction de H. Dye stipule que deux actions p.m.p. sont orbitalement équivalentes (i.e. induisent la même partition à une bijection p.m.p. près) si et seulement si leurs groupes pleins sont isomorphes.Le sujet de cette thèse est grandement motivé par ce théorème de reconstruction, puisqu’il s’agit de voir comment des invariants d’équivalence orbitale, qui portent donc sur la partition de l’espace en orbites, se traduisent en des propriétés algébriques ou topologiques du groupe plein associé.Le résultat majeur porte sur le rang topologique des groupes pleins, c’est-à-dire le nombre minimum d’éléments nécessaires pour engendrer un sous-groupe dense. Il se trouve être fortement relié a un invariant fondamental d’équivalence orbitale : le coût. Plus précisément, nous avons montré que le rang topologique était, dans le cas ergodique, égal à la partie entière du coût de l’action plus un. Le cas non ergodique a également été étudié, et on a obtenu des résultats complémentaires sur la généricité de l’ensemble des générateurs topologiques.Enfin, on a caractérisé les actions dont toutes les orbites sont infinies : ce sont exac- tement celles dont le groupe plein n’admet aucun morphisme non trivial à valeurs dans Z/2Z.Let (X,μ) be a standard probability space and Γ a countable group acting on X in a measure preserving way. The partition of the space X into Γ-orbits is entirely encoded by the full group of the action, consisting of all the Borel bijections of X which act by permutation on every orbit. To be more precise, Dye’s reconstruction theorem states that two measure preserving actions are orbit equivalent (i.e. they induce the same partition up to a measure preserving bijection of (X, μ)) if and only if their full groups are isomorphic.The reconstruction theorem is the main motivation for this thesis, in which we try to understand how exactly orbit equivalence invariants of measure preserving actions translate into algebraic or topological properties of the associated full group.The main result deals with the topological rank of full groups, that is the minimal number of elements needed to generate a dense subgroup. It happens to be deeply linked to a fundamental invariant of orbit equivalence : the cost. To be more precise, we have shown that the topological rank is, in the ergodic case, equal to the integer part of the cost of the action plus one. The non-ergodic case was also treated, and we obtained some genericity results for the set of topological generators.We also obtained a characterization of the measure preserving actions having only infinite orbits : these are the ones whose full group has non nontrivial morphism into Z/2Z