FE2 method and hyperreduction : towards intensive computations at the micro scale

Des méthodes de réduction de modèle sont utilisées pour diminuer le coût de calcul associé à des analyses paramétriques de structures qui requièrent un très grand nombre de simulations quasi-identiques. Parmi ces méthodes, l'hyperréduction de modèle est efficace pour attaquer les problèmes de mécanique non-linéaire. Une approche orientée objet de cette méthode dans le cadre d'un code éléments finis modulaire a été développée. L'architecture logicielle s'appuie sur un algorithme qui se déroule en deux étapes : une étape extit{offline} dans laquelle le modèle réduit est construit à partir d'états du système mécanique et une étape extit{online} de calcul réduit qui exploite le modèle réduit. La structure du code qui repose sur l'utilisation d'un élément réduit permet d'améliorer la performance, de simplifier la prise en main et de favoriser sa réutilisation dans les développements futurs de la méthode. En outre, la méthode d'hyperréduction est revisitée et améliorée : des bases réduites vectorielles et tensorielles sont mises en oeuvre pour traiter les champs de contraintes et de variables internes des calculs éléments finis non-linéaires. En particulier, l'accent est mis sur la prise en compte des conditions aux limites périodiques et des conditions de bord libre. Dans cette démarche, les conditions aux limites au bord du domaine réduit sont imposées dans l'équation de l'équilibre mécanique réduit. Des exemples d'inclusions élastiques fibre/matrice sont fournis ainsi qu'un calcul complet adaptatif non-linéaire sur plaque perforée. Pour prendre en compte les effets de la microstructure, les méthodes éléments finis au carré (EF²) divisent le problème mécanique en deux échelles. A l'échelle microscopique, les équations de comportement sont intégrées sur le volume élémentaire représentatif (VER) sollicité en condition périodique. Le comportement de la structure macroscopique est déterminé par homogénéisation. Une méthode d'hyperréduction multidimensionnelle est appliquée au problème microscopique constitué de l'ensemble des volumes élémentaires représentatifs. On se sert d'un algorithme de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) pour mettre à jour les matrices tangentes macroscopiques en chaque point de Gauss. On parvient ainsi à diminuer le temps de calcul sur des modèles de faible dimension. Cependant, quand le nombre de degrés de liberté augmente, on démontre que l'hyperréduction de modèle multidimensionnelle ne parvient pas à réduire suffisamment les coûts de calcul.Model Order Reduction (MOR) methods are used to cope with high computational costs typically involved in parametric analysis of structures requiring a huge number of almost similar simulations. Among them, a so-called hyperreduction method suitable for non-linear mechanical finite element (FE) problems is studied. An objected-oriented approach to deal with it in the framework of a FE software is carried out. The software design takes advantage of a two-level process : a so-called offline computation step in which the reduced model is set up based on collected snapshots of mechanical system states and an online high-speed reduced computation which runs the reduced model. The code design relying on a reduced element is expected to enhance performance, to give a clearer view over the process and to favour code reuse in subsequent developments of the method. Futhermore, the hyperreduction method is reviewed and is deeply improved : vector and tensor bases are introduced to deal with non-scalar fields which arise in non-linear mechanical FE problems and the mechanical balance is ensured in the extrapolation phase. A particular emphasis is placed on the treatment of free and periodic boundary conditions. In this approach, the boundary conditions at the edge of the reduced integration domain are enforced in the reduced balance equations. Numerical toy examples of elasticity fiber/matrix inclusions as well as a full adaptative non-linear simluation are provided to show the capabilities of the implementation. To take into account microstructural behaviors, FE2 methods consist in splitting the computation into two scales. At the micro scale the material constitutive equations are integrated over periodic RVEs. The behavior of the macro structure is carried out by a homogeneized process. A multidimensional hyperreduction method is applied to the massive micro problem composed of the set of the periodic RVEs. A BFGS algorithm is used to update the macro tangent matrices at each integration Gauss point. Some speed-ups are recorded for low dimensional models. However, as the number of degrees of freedom increases, the multidimensional hyperreduction method is proved to be far less efficient to cut computational costs down