Local and global behavior for Hamilton-Jacobi equations with degenerate difusion

Cette thèse est consacrée à l’étude des propriétés qualitatives de solutions d’une équation d’évolution de type Hamilton-Jacobi avec une diffusion donnée par l’opérateur p-Laplacien. On s’attache principalement à l’étude de l’effet de la diffusion non-linéaire sur le phénomène d’explosion du gradient. Les principales questions qu’on étudie portent sur l’existence locale, régularité, profil spatial d’explosion et la localisation des points d’explosion. En particulier on montre un résultat d’explosion en seul point du bord. Dans le chapitre 4, on utilise une approche de solutions de viscosité pour prolonger la solution explosive au delà des singularités et on étudie son comportement en temps grands. Dans l’avant dernier chapitre on s’intéresse au caractère borné des solutions globales du problème unidimensionnel. Dans le dernier chapitre on démontre une estimation de gradient locale en espace et on l’utilise pour obtenir un résultat de type Liouville. On s’inspire et on compare nos résultats avec les résultats connus pour le cas de la diffusion linéaire.This thesis is devoted to the study of qualitative properties of solutions of an evolution equation of Hamilton-Jacobi type with a p-Laplacian diffusion. It is mainly concerned with the study of the effect of the non-linear diffusion on the gradient blow-up phenomenon. The main issues we are studying are: local existence and uniqueness, regularity, spatial profile of gradient blow-up and localization of the singularities. We provide examples where the gradient blow-up set is reduced to a single point. In Chapter 4, a viscosity solution approachis used to extend the blowing-up solutions beyond the singularities and an ergodic problem is also analyzed in order to study their long time behavior. In the penultimate chapter, we address the question of boundedness of global solutions to the one-dimensional problem. In the last chapter we prove a local in space, gradient estimate and we use it to obtain a Liouville-type theorem