Finite time singularities for the semilinear wave equations

Cette thèse est dédiée à l’étude du phénomène d’explosion en temps fini pour les équations semi-linéaires des ondes. On traite deux modèles dans ce travail.Dans une première direction, on considère l’équation semi-linéaire des ondes à valeurs complexes avec une nonlinéarité en puissance. On caractérise d’abord toutes les solutions du problème stationnaire comme une famille à deux paramètres.Ensuite, on utilise une approche de système dynamique pour montrer que la solution en transformation auto-similaire s’approche d’une solution stationnaire particulière dans l’espace d’énergie, dans le cas des points non caractéristiques.Ceci donne le profil à l’explosion pour l’équation originale dans le cas non-caractéristique.Dans une seconde direction, on étudie l’exemple de l’équation des ondes avec source exponentielle critique en dimension 1. On généralise les résultats de Godin pour une classe de données initiales beaucoup plus grandes. On prouve des estimations à l’explosion pour tout point de l’espace et on donne une estimation optimale du taux d’explosion pour les points non-caractéristiques.This thesis is devoted to the study of the finite time blow-up phenomena for the semilinear waves equations. We treat two models in this work.In the first part, we consider a complex-valued solution for the semilinear wave equation with power nonlinearity. We first characterize all the solutions of the associated stationary problem as a two-parameter family. Then, weuse a dynamical system formulation to show that the solution in self-similar variables approaches some particular stationary one in the energy norm, in the non-characteristic case. This gives the blow-up profile for the original equation in the non-characteristic case.The second part is dedicated to the study of the semilinear wave equation with exponential nonlinearity in one space dimension. We generalize the results of Godin to a much larger class of initial data. We prove blow-up estimates near any point and give an optimal bound on the blow-up rate near the non characteristic points