Hamilton-Jacobi equations on networks or heterogeneous structures

Cette thèse porte sur l'étude de problèmes de contrôle optimal sur des réseaux (c'est-à-dire des ensembles constitués de sous-régions reliées entre elles par des jonctions), pour lesquels on autorise différentes dynamiques et différents coûts instantanés dans chaque sous-région du réseau. Comme dans les cas plus classiques, on aimerait pouvoir caractériser la fonction valeur d'un tel problème de contrôle par le biais d'une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. Cependant, les singularités géométriques du domaine, ainsi que les discontinuités des données ne nous permettent pas d'appliquer la théorie classique des solutions de viscosité. Dans la première partie de cette thèse nous prouvons que les fonctions valeurs de problèmes de contrôle optimal définis sur des réseaux 1-dimensionnel sont caractérisées par de telles équations. Dans la seconde partie les résultats précédents sont étendus au cas de problèmes de contrôle définis sur une jonction 2-dimensionnelle. Enfin, dans une dernière partie, nous utilisons les résultats obtenus précédemment pour traiter un problème de perturbation singulière impliquant des problèmes de contrôle optimal dans le plan pour lesquels les dynamiques et les coûts instantanés peuvent être discontinus à travers une frontière oscillante.This thesis focuses on the study of optimal control problems defined on networks (i.e. sets consisting of sub-regions connected together through junctions), where different dynamics and different running costs are allowed in each sub-region of the network. As in classical cases, we would like to characterize the value function of such an optimal control problem through an Hamilton-Jacobi-Bellman equation. However, the geometrical singularities of the domain and the data discontinuities do not allow us to apply the classical theory of viscosity solutions. In the first part of this thesis, we prove this kind of characterization for the value functions of optimal control problems defined on 1-dimensional networks. In the second part, the previous results are extended to the case of control problems defined on a 2-dimensional junction. Finally, in the last part, we use the results obtained previously to treat a singular perturbation problem involving optimal control problems in the plane for which the dynamics and running costs can be discontinuous through an oscillating border