Hardware and Software Accelerators for Sparse Linear Algebra over Finite Fields

Les primitives de la cryptographie à clé publique reposent sur la difficulté supposée de résoudre certains problèmes mathématiques. Dans ce travail, on s'intéresse à la cryptanalyse du problème du logarithme discret dans les sous-groupes multiplicatifs des corps finis. Les algorithmes de calcul d'index, utilisés dans ce contexte, nécessitent de résoudre de grands systèmes linéaires creux définis sur des corps finis de grande caractéristique. Cette algèbre linéaire représente dans beaucoup de cas le goulot d'étranglement qui empêche de cibler des tailles de corps plus grandes. L'objectif de cette thèse est d'explorer les éléments qui permettent d'accélérer cette algèbre linéaire sur des architectures pensées pour le calcul parallèle. On est amené à exploiter le parallélisme qui intervient dans différents niveaux algorithmiques et arithmétiques et à adapter les algorithmes classiques aux caractéristiques des architectures utilisées et aux spécificités du problème. Dans la première partie du manuscrit, on présente un rappel sur le contexte du logarithme discret et des architectures logicielles et matérielles utilisées. La seconde partie du manuscrit est consacrée à l'accélération de l'algèbre linéaire. Ce travail a donné lieu à deux implémentations de résolution de systèmes linéaires basées sur l'algorithme de Wiedemann par blocs : une implémentation adaptée à un cluster de GPU NVIDIA et une implémentation adaptée à un cluster de CPU multi-cœurs. Ces implémentations ont contribué à la réalisation de records de calcul de logarithme discret dans les corps binaires GF(2^{619}) et GF(2^{809} et dans le corps premier GF(p_{180})The security of public-key cryptographic primitives relies on the computational difficulty of solving some mathematical problems. In this work, we are interested in the cryptanalysis of the discrete logarithm problem over the multiplicative subgroups of finite fields. The index calculus algorithms, which are used in this context, require solving large sparse systems of linear equations over finite fields. This linear algebra represents a serious limiting factor when targeting larger fields. The object of this thesis is to explore all the elements that accelerate this linear algebra over parallel architectures. We need to exploit the different levels of parallelism provided by these computations and to adapt the state-of-the-art algorithms to the characteristics of the considered architectures and to the specificities of the problem. In the first part of the manuscript, we present an overview of the discrete logarithm context and an overview of the considered software and hardware architectures. The second part deals with accelerating the linear algebra. We developed two implementations of linear system solvers based on the block Wiedemann algorithm: an NVIDIA-GPU-based implementation and an implementation adapted to a cluster of multi-core CPU. These implementations contributed to solving the discrete logarithm problem in binary fields GF(2^{619}) et GF(2^{809}) and in the prime field GF(p_{180}