Monotone Modal Logic and Friends

Cette thèse étudie la théorie de la correspondance et la théorie des preuves pour la logique modale monotone et les logiques qui en sont proches.La première partie de la thèse établit une connexion formelle entre la théorie de la correspondance algorithmique et des résultats de caractérisation duale pour les treillis finis, similaire à la caractérisation par Nation d'une hiérarchie de variétés de treillis qui généralise les treillis distributifs. Cette connexion formelle est établie en utilisant la logique modale monotone. Nous adaptons l'algorithme ALBA pour la correspondance à l'environnement de la logique modale monotone, et nous utilisons un encodage, induit par une dualité, des treillis finis sous forme de 'neighbourhood frames' pour traduire les termes de la théorie des treillis en formules de la logic modal monotone.La deuxième partie de la thèse étend la théorie des 'display calculi' à la logique Baltag-Moss-Solecki pour les actions épistémiques et la connaissance (Epistemic Actions and Knowledge), à la logique modale monotone et à la logique propositionnelle dynamique (PDL). Nos résultats incluent plusieurs méta-théorèmes d'élimination de la coupure qui généralisent le théorème original de Belnap dans des dimensions différentes et indépendantes. Les deux principales généralisations des 'display calculi' traitées dans la thèse sont : la généralisation d'une théorie pour les langages ne contenant qu'un seul type à une théorie pour les langages contenant plusieurs types, et la généralisation d'une théorie pour les calculs satisfaisant la propriété de 'display' aux calculs ne la satisfaisant pas.The present thesis focuses on Monotone Modal Logic and closely related logics from the point of view of Correspondence Theory and Proof Theory.The first part of the thesis establishes a formal connection between algorithmic corre- spondence theory and certain dual characterization results for finite lattices, similar to Nation's characterization of a hierarchy of pseudovarieties of finite lattices progressively generalizing finite distributive lattices. This formal connection is established through monotone modal logic. Specifically, we adapt the correspondence algorithm ALBA to the setting of monotone modal logic, and we use a certain duality-induced encoding of finite lattices as monotone neighbourhood frames to translate lattice terms into formulas in monotone modal logic.The second part of the thesis extends the theory of display calculi to Baltag-Moss- Solecki's logic of Epistemic Actions and Knowledge (EAK), Monotone Modal Logic (MML), and Propositional Dynamic Logic (PDL). Our results include several cut-elimination metatheorems, which generalize the original metatheorem of Belnap in different and mutually independent dimensions. The two main generalizations of display calculi treated in the thesis are: the generalization from single type to multi-type languages, and from the full or relativized display property to no display property