The effective resolution of partial differential equations for multiphase fluid mechanics and medical imaging

Ce travail s'articule en quatre parties. Les trois premières ont pour socle commun l'adaptation d'un schéma volumes finis (VFFC) à des situations variées, dans le but d'un gain en efficacité pour la simulation numérique d'écoulements complexes. La première partie concerne la simulation numérique efficace de la chute d'un bloc de liquide au sein d'une poche de gaz, et propose un nouveau modèle mutualisant de précédents travaux pour associer finesse des résultats et efficacité de calcul. La deuxième partie vise à la mise en place d'un schéma AMR (Adaptive Mesh Refinement) général pour la résolution par volumes finis des systèmes non conservatifs. La troisième partie a pour finalité le couplage dynamique de deux modèles représentant plus ou moins finement une physique donnée. Enfin, dans un tout autre domaine où l'efficacité de résolution des équations aux dérivées partielles revêt également une grande importance, la quatrième partie s'intéresse au problème du flot optique en imagerie - c'est à dire à la recherche d'un champ de déplacement à partir d'une suite d'image - et approfondit une méthode existante (méthode de Horn et Schunck) d'un point de vue pratique et théorique.This work is divided into four parts. The first three parts, as a common base, aim at adapting a finite volume scheme (VFFC) to various situations, in order to get a better efficiency for the numerical simulation of complex flows. The first part deals with the efficient numerical simulation of a falling block of liquid in a gas pocket, and proposes a new model to combine previous work for associating precision of results and computational efficiency. The second part aims at the establishment of a general AMR (Adaptive Mesh Refinement) scheme for resolution by finite volumes of non-conservative systems. The purpose of the third part is the dynamic coupling of two models representing more or less finely a given physical system. Finally, in any other area where the efficiency of solving partial differential equations is of great importance too, the fourth part deals with the problem of optical flow in imaging - i.e. the research of a displacement field from several successive images - and deepens an existing method (Horn and Schunck method) from a practical and theoretical perspective