Around orthogonal projections : numerical range, uncertainty principle and the invariant subspace problem

Dans cette thèse en théorie des opérateurs, on s’intéresse aux projections orthogonales, à l’image numérique d’un opérateur agissant sur un espace de Hilbert, au principe d’incertitude, au problème du sous-espace invariant et aux perturbations d’opérateurs diagonaux.Après un premier chapitre introductif, on s’intéresse à l’image numérique d’un produit de projections orthogonales et aux applications possibles. On donne une formule explicite de l’image numérique d’un produit de projections orthogonales en fonction de son spectre. On montre comment reconstruire une partie du spectre d’un produit de projections à partir de son image numérique. Comme conséquence, on donne de nouvelles caractérisations de vitesse de convergence dans la méthode des projections alternées (Théorème de von Neumann - Halperin), ainsi qu’une nouvelle caractérisation de paires annihilantes (qui est une formulation du principe d’incertitude). Dans le chapitre suivant, on s’intéresse aux différences de projections orthogonales. On discute de la caractérisation des opérateurs qui peuvent s’écrire comme différence de projections orthogonales. On applique ces résultats en écrivant certains opérateurs unitaires (dont l’opérateur de décalage bilatéral) comme combinaisons linéaires de projections orthogonales. Puis on applique encore ces résultats en établissant de nouveaux principes d’incertitudes pour des polynômes orthogonaux, ce qui améliore un résultat récent de W. Erb. Dans la dernière partie de cette thèse, on démontre l’existence des sous-espaces hyperinvariants pour certaines perturbations compactes d’opérateurs de multiplication. Ceci représente une généralisation des résultats antérieurs de Fang-Xia et de Foias-Jung-Ko-Pearcy. Enfin on construit des perturbations de rang un d’opérateurs diagonaux sans valeur propre, ce qui constitue une réponse à un problème ouvert dû à E. Ionascu.In this PhD thesis in Operator Theory, we are interested in orthogonal projections, numerical ranges of operators acting on a Hilbert space, uncertainty principles, the invariant subspace problem and perturbations of diagonal operators. After an introductory chapter, we investigate the numerical range of a product of two orthogonal projections and possible applications. We give an explicit formula of the numerical range for a product of orthogonal projections depending on its spectrum. We show how to reconstruct some parts of the spectrum of the product of orthogonal projections from its numerical range. As a consequence, we give new characterizations of the speed of convergence in the method of alternating projections (von Neumann-Halperin like Theorems), and a new characterization of annihilating pairs (which is a formulation of the uncertainty principle). In the next chapter, we study differences of orthogonal projections. We give a caracterisation of operators that can be expressed as a difference of orthogonal projections. We apply these results to some unitary operators (including the bilateral shift) by writing them as linear combinations of orthogonal projections. Then we apply again these results by establishing a new uncertainty principle for orthogonal polynomials, improving recent results of W. Erb.In the last part of this thesis, we prove the exitence of hyperinvariant subspaces for some compact perturbations of multiplication operators. This generalize former results of Fang-Xia and Foias-Jung-Ko-Pearcy. Finally, we show the existence of rank-one perturbations of diagonal operators without eigenvalues, solving in this way an open problem of E. Ionascu