Invariants of determinantal varieties

Dans ce travail nous étudions les variétés determinantales essentiellement isolées (EIDS). Ce type de singularité est une généralization de la notion de singularité isolée. La variété determinantale générique M_{m,n}^t est un sous-ensemble des matrices, mxn, tels que le rang est inférieur que t, où t≤m≤n. Une variété X est determinantal si X est définie comme la pré-image d'une fonction holomorphe, F:ℂ^N → M, sur la variété determinantale générique avec la condition codim X=codim M_{m,n}^t. Certains travaux précédents ont étudié les variétés determinantales avec singularité isolée et ils ont défini le nombre de Milnor d'une surface determinantale et la caractéristique évanescente d'Euler.Nous étudions l'ensemble des hyperplans limites d'hyperplans tangents à une surface determinantale en ℂ⁴ et 3-variété en ℂ⁵ pour donner une caractérisation de ces hyperplans, par le fait que le nombre de Milnor de leur section avec la surface dans le premier cas ou la 3- variété dans le deuxième cas n'est pas minimum.Nous montrons également que, si X est une EIDS, de dimension d et H et H' sont des hyperplans fortement généraux, si P⊂H et P'⊂H' sont des plans de codimension d-2, les nombres de Milnor des surfaces genériques sont égaux.Nous étudions aussi la modification de Nash d'une EIDS et donnons des conditions suffisantes pour que cette transformation soit lisse.Un autre objectif de notre travail est l'étude de l'obstruction d'Euler d Nous obtenons des formules inductives qui relient l'obstruction d'Euler de X à la caractéristique d'Euler évanescente du lissage essentiel de leurs sections génériques.In this work, we study the essentially isolated determinantal singularities (EIDS). This type of singularities is a natural generalization of isolated ones. A generic determinantal variety M_{m,n}^t is a subset of the space of mxn matrices, given by matrices of rank less than t, where t≤m≤n. A variety X is determinantal if X is defined as the pre-image of M_{m,n}^t by a holomorphic function F:ℂ^N → M with the condition codim X=codim M_{m,n}^t. Several recent works investigate determinantal variety with isolated singularities and they are difened the Milnor number and the vanishing Euler characteristic. In this work we study the set of limits of tangent hyperplanes to surface in ℂ⁴ and 3-variety in ℂ⁵ to give a characterization of this set by the fact that the Milnor number of its section with the surface in the first case or the 3-dimensional determinantal variety in the second case is not minimum. We also prove that if X is a d- dimensional EIDS and H and H' are strongly general hyperplans, if P⊂H and P'⊂H' are d-2 linear plans, the Milnor number of the generic surfaces are equal. We study the Nash transformation of an EIDS and give sufficient conditions for this transformation to be smooth. Another aim of our study is the Euler obstruction of essentially isolated determinantal singularities. We obtain inductive formulas associating the Euler obstruction with the vanishing Euler characteristic of the essencial smoothing of their generic sections