Influence of random fields and long-range interactions on the critical behavior of the Ising model : an approach by the non pertubrative renormalization group

Nous étudions l’influence du champ magnétique aléatoire et des interactions à longue portée sur le comportement critique du modèle d’Ising ; notre approche est basée sur une version non perturbative et fonctionnelle du groupe de renormalisation. Les concepts du groupe de renormalisation non perturbatif sont tout d’abord introduits, puis illustrés dans le cadre simple d’une théorie classique d’un champ scalaire. Nous discutons ensuite les propriétés critiques de cette dernière en présence d’un champ magnétique aléatoire gelé qui traduit le désordre dans le système. Celui-ci est distribué comme un bruit blanc gaussien dans l’espace. Nous insistons principalement sur la propriété de réduction dimensionnelle qui prédit un comportement critique identique pour le modèle en champ aléatoire à d dimensions et le modèle pur (c’est à dire sans champ aléatoire) en dimension d − 2. Bien que cette propriété soit démontrée à tous les ordres par la théorie de perturbation, on montre que celle-ci est brisée en dessous d’une dimension critique dDR = 5.13. La réduction dimensionnelle et sa brisure sont alors reliées aux caractéristiques d’échelle des grandes avalanches intervenant dans le système à température nulle. Nous considérons, dans un second temps, une généralisation du modèle d’Ising dans laquelle l’interaction ferromagnétique décroit désormais à longue portée comme r^−(d+σ) avec σ > 0 (d désigne toujours la dimension de l’espace). Dans un tel système, il est possible de travailler en dimension fixée (incluant la dimension d = 1) et de varier l’exposant σ afin de parcourir une gamme de comportements critiques similaire à celle obtenue entre les dimensions critiques inférieure et supérieure de la version à courte portée du modèle. Nous avons caractérisé la transition de phase dans le plan (σ, d), et notamment calculé les exposants critiques en fonction du paramètre σ pour les dimensions physiquement intéressantes d = 1, 2 et 3. Finalement, on s’intéresse aussi à la théorie en présence d’un champ magnétique aléatoire dont les corrélations décroissent à grande distance comme r^−d+ρ avec ρ > −d. Dans le cas particulier où ρ = 2 − σ, on montre que la propriété de réduction dimensionnelle est vérifiée lorsque σ est suffisamment petit, mais brisée à grand σ (en dimension inférieure à σDR ). En particulier, concernant le modèle tridimensionnel, nos résultats prédisent une brisure de réduction dimensionnelle lorsque σ > σDR = 0.71.We study the influence of the presence of a random magnetic field and of long-ranged interactions on the critical behaviour of the Ising model. Our approach is based on a nonperturbative and functional version of the renormalization group. The bases of the nonperturbative renormalization group are introduced first and then illustrated in the simple case of the classical scalar field theory. We next discuss the critical properties of the latter in the presence of a random magnetic field, which is associated with frozen disorder in the system. The distribution of the random field in space is taken as that of a Gaussian white noise. We focus on the property of dimensional reduction that predicts identical critical behaviour for the random-field model in dimension d and the pure model, i.e. in the absence of random field, in dimension d-2. Although this property is found at all orders of the perturbation theory, it is violated below a critical dimension dDR = approx 5.13. We show that the dimensional reduction and its breakdown are related to the large-scale properties of the avalanches that are present in the system at zero temperature. We next consider a generalization of the Ising model in which the ferromagnetic interaction varies at large distance like r^−(d+σ) avec σ > 0 (d being the spatial dimension). In this system, it is possible to obtain a range of critical behaviour similar to that encountered in the short-ranged version of the model between the lower and the upper critical dimensions by varying the exponent σ while keeping the dimension d fixed (including the case d=1).We have characterized the phase transition of this long-ranged model in the plane (σ, d) and computed the critical exponents as a function of the parameter σ for the physically interesting dimensions, d=1, 2 and 3. Finally, we have also studied the long-ranged random-field Ising model when the correlations of the random magnetic field decrease at large distance as r^−d+ρ with ρ > −d. In the special case where ρ = 2 − σ, we have shown that the dimensional-reduction property is satisfied when σ is small enough but breaks down above a critical value (when the spatial dimension d is less than dDR). In particular, for d=3, we predict a breakdown of dimensional reduction for σ > σDR = 0.71