Analysis and simulation of deterministic and stochastic Schrödinger equations. Applications to rotating Bose-Einstein condensates

Dans cette thèse, nous étudions différents aspects mathématiques et numériques des équations de Gross-Pitaevskii et de Schrödinger non linéaire. Nous commençons (chapitre 1) par introduire différents modèles à partir des systèmes physiques que sont les condensats de Bose-Einstein et les impulsions lumineuses dans les fibres optiques. Cette modélisation conduit aux équations aux dérivées partielles stochastiques suivantes : l'équation de Gross-Pitaevskii stochastique et l'équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Ensuite, dans le second chapitre, nous nous intéressons au problème de l'existence et l'unicité d'une solution de ces équations. On montre notamment que le problème de Cauchy a une solution pour l'équation de Gross-Pitaevskii stochastique avec rotation grâce à la construction de la solution associée au problème. Nous abordons ensuite dans le troisième chapitre le problème du calcul des états stationnaires pour l'équation de Gross-Pitaevskii. Nous développons une méthode pseudo-spectrale de discrétisation du Continuous Normalized Gradient Flow, associée à une résolution itérative préconditionnée des sous-espaces de Krylov. Le quatrième chapitre concerne l'étude de schémas pseudo-spectraux pour la dynamique de l'équation de Gross-Pitaevskii et de Schrödinger non linéaire. On procède à une étude numérique de ces schémas (schéma de splitting de Lie et de Strang, ainsi qu'un schéma de relaxation). De plus, on analyse le schéma de Lie dans le cadre de l'équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Finalement, nous présentons, dans le cinquième chapitre, une boîte à outils Matlab (GPELab) développée dans le but de fournir les méthodes numériques que nous avons étudiéesThe aim of this Thesis is to study various mathematical and numerical aspects related to the Gross-Pitaevskii and nonlinear Schrödinger equations. We begin (chapter 1) by introducing a few models starting from the physics of Bose-Einstein condensates and optical fibers. This naturally leads to introducing a stochastic Gross-Pitaevskii equation and a nonlinear Schrödinger equation with random dispersion. Next, in the second chapter, we analyze the existence and uniqueness problem for these two equations. We prove that the Cauchy problem admits a solution for the stochastic Gross-Pitaevskii equation with a rotational term by constructing the solution associated with the linear. The third chapter is concerned with the computation of stationary states for the Gross-Pitaevskii equation. We develop a pseudo-spectral approximation scheme for the Continuous Normalized Gradient Flow formulation, combined with preconditioned Krylov subspace methods. This original approach leads to the robust and efficient computation of ground states for fast rotations and strong nonlinearities. In the fourth chapter, we consider some pseudo-spectral schemes for computing the dynamics of the Gross-Pitaevskii and nonlinear Schrödinger equations. These schemes (the Lie's and Strang's splitting schemes and the relaxation scheme) are numerically studied. Moreover, we proceed to a rigorous numerical analysis of the Lie scheme for the associated stochastic PDEs. Finally, we present in the fifth chapter a Matlab toolbox (called GPELab) that provides computational solutions based on the schemes previously introduced in the Thesi