Deformation of Kähler compact manifolds : invariance of G-dimension and extension of pluricanonical sections

L’objectif de cette thèse consiste en l’étude du revêtement universel des variétés kählériennes compactes, de leurs systèmes pluricanoniques et des liens qui les unissent. Dans un premier temps, nous étudions la G-réduction d’une variété kählérienne compacte vue comme quotient de Remmert biméromorphe de son revêtement universel. La dimension de l’espace quotient est par définition la G-dimension d’une telle variété. Les grandes lignes de l’étude de cet invariant sont les suivantes : lien avec l’existence de formes holomorphes L² sur le revêtement universel, comportement de la G-dimension dans les fibrations, place de la G-réduction dans la théorie de la classification, structure des variétés de type p1-général (au moins en petite dimension). La fin de cette première partie est consacrée à l’étude de l’invariance par déformation de la G-dimension en dimension 3. Cette propriété est établie dans diverses situations, par exemple dans les cas des familles de variétés kählériennes qui ne sont pas de type général. La deuxième partie porte sur la méthode One-Tower d’extension de formes pluricanoniques. Nous mettons en effet cette partie à profit pour montrer comment adapter cette méthode dans différentes situations. Ainsi, après quelques rappels sur les différentes notions de positivité des fibrés en droites et sur les idéaux multiplicateurs, nous établissons des résultats d’extension de sections pluricanoniques dans les contextes suivants : famille projective de variétés (avec fibré canonique tordu par un fibré en droites pseudo-effectif), hypersurface d’une variété projective, fibre générale de la G-réduction pour les variétés de type général et famille des revêtements universels.In this thesis, we study universal cover of Kähler compact manifolds, their pluricanonical systems and the different links between them. First, we introduce the G-reduction of a Kähler compact manifold as a rational Remmert reduction of its universal cover ; the G-dimension is defined to be the dimension of the base of this fibration. In this study we consider the following aspects : behaviour of the G-dimension in a fibration, relationship with L² holomorphic forms on the universal cover, comparison with the fibrations of the classification theory, G-reduction for manifolds of small dimension. At the end of this first part, we establish invariance of G-dimension for several families of Kähler threefolds (for instance for non general type). We then show statements of extension of pluricanonical forms in the spirit of the One-Tower method. After a brief review concerning positivity of line bundles and multiplier ideal sheaves, we apply this strategy in different situations : projective family (with a twisting pseudo-effective line bundle), hypersurface in a projective manifold, G-reduction for manifolds of general type and family of infinite covers