Robust domain decomposition methods for symmetric positive definite problems

L'objectif de cette thèse est de concevoir des méthodes de décomposition de domaine qui sont robustes même pour les problèmes difficiles auxquels on est confronté lorsqu'on simule des objets industriels ou qui existent dans la nature. Par exemple une difficulté à laquelle est confronté Michelin et que les pneus sont constitués de matériaux avec des lois de comportement très différentes (caoutchouc et acier). Ceci induit un ralentissement de la convergence des méthodes de décomposition de domaine classiques dès que la partition en sous domaines ne tient pas compte des hétérogénéités. Pour trois méthodes de décomposition de domaine (Schwarz Additif, BDD et FETI) nous avons prouvé qu'en résolvant des problèmes aux valeurs propres généralisés dans chacun des sous domaines on peut identifier automatiquement quels sont les modes responsables de la convergence lente. En d'autres termes on divise le problème de départ en deux : une partie où on peut montrer que la méthode de décomposition de domaine va converger et une seconde où on ne peut pas. L'idée finale est d'appliquer des projections pour résoudre ces deux problèmes indépendamment (c'est la déflation) : au premier on applique la méthode de décomposition de domaine et sur le second (qu'on appelle le problème grossier) on utilise un solveur direct qu'on sait être robuste. Nous garantissons théoriquement que le solveur à deux niveaux qui résulte de ces choix est robuste. Un autre atout de nos algorithmes est qu'il peuvent être implémentés en boite noire ce qui veut dire que les matériaux hétérogènes ne sont qu'un exemple des difficultés qu'ils peuvent contourner.The objective of this thesis is to design domain decomposition methods which are robust even for hard problems that arise when simulating industrial or real life objects. For instance one particular challenge which the company Michelin is faced with is the fact that tires are made of rubber and steel which are two materials with very different behavior laws. With classical domain decomposition methods, as soon as the partition into subdomains does not accommodate the discontinuities between the different materials convergence deteriorates. For three popular domain decomposition methods (Ad- ditive Schwarz, FETI and BDD) we have proved that by solving a generalized eigenvalue problem in each of the subdomains we can identify automatically which are the modes responsible for slow convergence. In other words we can divide the original problem into two problems : the first one where we can guarantee that the domain decomposition method will converge quickly and the second where we cannot. The final idea is to apply projections to solve these two problems independently (this is also known as deflation) : on the first we apply the domain decomposition method and on the second (we call it the coarse space) we use a direct solver which we know will be robust. We guarantee theoretically that the resulting two level solver is robust. The other main feature of our algorithms is that they can be implemented as black box solvers meaning that heterogeneous materials is only one type of difficulty that they can identify and circumvent