Mathematical Aspects of Financial Market Models with Transaction Costs

Les marchés financiers occupent une place prépondérante dans l’économie. La future évolution des législations dans le domaine de la finance mondiale va rendre inévitable l’introduction de frictions pour éviter les mouvements spéculatifs des capitaux, toujours menaçants d’une crise. C’est pourquoi nous nous intéressons principalement, ici, aux modèles de marchés financiers avec coûts de transaction.Cette thèse se compose de trois chapitres. Le premier établit un critère d’absence d’opportunité d’arbitrage donnant l’existence de systèmes de prix consistants, i.e. martingales évoluant dans le cône dual positif exprimé en unités physiques, pour une famille de modèles de marchés financiers en temps continu avec petits coûts de transaction.Dans le deuxième chapitre, nous montrons la convergence des ensembles de sur-réplication d’une option européenne dans le cadre de la convergence topologique des ensembles. Dans des modèles multidimensionnels avec coûts de transaction décroissants a l’ordre n−1/2, nous donnons une description de l’ensemble limite pour des modèles particuliers et en déduisons des inclusions pour les modèles généraux (modèles de KABANOV). Le troisième chapitre est dédié a l’approximation du prix d’options européennes pour des modèles avec diffusion très générale (sans coûts de transaction). Nous étudions les propriétés des pay-offs pour pouvoir utiliser au mieux l’approximation du processus de prix du sous-jacent par un processus intuitif défini par récurrence grâce aux itérations de PICARDFinancial markets play a prevailing role in the economy. The future legislation development in the field of globalfinance will unavoidably lead to friction to prevent speculative capital movements, always threatening with crisis. Thatis why we are interested in the financial market models with transaction costs.This thesis consists of three chapters. The first one establishes a criterion of absence of arbitrage opportunitiesgiving the existence of consistent price systems, i.e. martingale evolving in the dual cone expressed in physical units.The criterion holds for a family of financial market models in continuous time with small transaction costs.In the second chapter, we show the convergence of super-replication sets for a European option in the contextof the topological convergence of sets. In multivariate models with transaction costs decreasing at rate n-1/2, we give adescription of the limit set for specific models. We deduce inclusions for general models (KABANOV's models).The third chapter is dedicated to the approximation of the European option price for models with very generaldiffusion (without transaction costs). We study properties of the pay-off to make best use of the approximation of theunderlying asset price, based on PICARD iterations