Front propagation methods

Ce travail porte sur la résolution de problèmes faisant intervenir des mouvements d'interfaces. Dans les différentes parties de cette thèse, on cherche à déterminer ces mouvements d'interfaces en résolvant des modèles approchés consistant en des équations ou des systèmes d'équations sur des champs. Les problèmes obtenus sont des équations paraboliques et des systèmes hyperboliques. Dans la première partie (chapitre 2), on étudie un modèle simplifié pour la propagation d'une onde de souffle en dynamique des fluides compressibles. Ce modèle peut s'écrire sous la forme d'un système hyperbolique, et on construit un algorithme résolvant numériquement ce système par une méthode de type Fast-Marching. On mène également une étude théorique de ce système pour déterminer des solutions de référence et tester la validité de l'algorithme. Dans la deuxième partie (chapitres 3 à 5), les équations approchées sont de type parabolique, et on cherche à montrer l'existence de solutions de type régime permanent à ces équations. Dans les chapitres 3 et 4, on étudie une équation générique en une dimension associée à des phénomènes de réaction-diffusion. Dans le chapitre 3, on montre l'existence de solutions quasi-planes pour un terme de réaction (terme non-linéaire) assez général, et dans le chapitre 4 on utilise ces résultats pour montrer l'existence d'ondes pulsatoires progressives dans le cas spécifique d'une non-linéarité bistable. Le modèle étudié dans le chapitre 5 est un modèle de champ de phase approchant un modèle de dynamique des dislocations dans un cristal, dans un domaine correspondant physiquement à une source de Frank-ReadThis work is about the resolution of problems associated with the motion of interfaces. In each part of this thesis, the goal is to determine the motion of interfaces by the use of approached models consisting of equations or systems of equation on fields. The problems we get are parabolic equations and hyperbolic systems. In the first part (Chapter 2), we study a simplified model for the propagation of a shock wave in compressible fluid dynamics. This model can be written as a hyperbolic system, and we construct an algorithm to solve it numerically by a Fast-Marching like method. We also conduct a theoretical study of this system to determine reference solutions and test the algorithm. In the second part (Chapters 3 to 5), the approached models yield parabolic equations, and our goal is to show the existence of permanent regime solutions for these equations. Chapter 3 and 4 are dedicated to the study of a generic one-dimensional equation modelling reaction-diffusion phenomena. In Chapter 3, we show the existence of plane-like solutions for a general reaction term, and in Chapter 4 we use this result to show the existence of pulsating travelling waves in the specific case of a bistable nonlinearity. In Chapter 5, we study a phase-field model approaching a model for the dynamics of dislocations in a crystal, in a domain corresponding to a Frank-Read sourc