Seismic hazard assessment through hidden Markov and semi-Markov modeling and statistical estimation

Le premier chapitre présente les axes principaux de recherche ainsi que les problèmes traités dans cette thèse. Plus précisément, il expose une synthèse sur le sujet, en y donnant les propriétés essentielles pour la bonne compréhension de cette étude, accompagnée des références bibliographiques les plus importantes. Il présente également les motivations de ce travail en précisant les contributions originales dans ce domaine. Le deuxième chapitre est composé d’une recherche originale sur l’estimation du risque sismique, dans la zone du nord de la mer Egée (Grèce), en faisant usage de la théorie des processus semi-markoviens à temps continue. Il propose des estimateurs des mesures importantes qui caractérisent les processus semi-markoviens, et fournit une modélisation dela prévision de l’instant de réalisation d’un séisme fort ainsi que la probabilité et la grandeur qui lui sont associées. Les chapitres 3 et 4 comprennent une première tentative de modélisation du processus de génération des séismes au moyen de l’application d’un temps discret des modèles cachés markoviens et semi-markoviens, respectivement. Une méthode d’estimation non paramétrique est appliquée, qui permet de révéler des caractéristiques fondamentales du processus de génération des séismes, difficiles à détecter autrement. Des quantités importantes concernant les niveaux des tensions sont estimées au moyen des modèles proposés. Le chapitre 5 décrit les résultats originaux du présent travail à la théorie des processus stochastiques, c’est- à-dire l’étude et l’estimation du « Intensité du temps d’entrée en temps discret (DTIHT) » pour la première fois dans des chaînes semi-markoviennes et des chaînes de renouvellement markoviennes cachées. Une relation est proposée pour le calcul du DTIHT et un nouvel estimateur est présenté dans chacun de ces cas. De plus, les propriétés asymptotiques des estimateurs proposés sont obtenues, à savoir, la convergence et la normalité asymptotique. Le chapitre 6 procède ensuite à une étude de comparaison entre le modèle markovien caché et le modèle semi-markovien caché dans un milieu markovien et semi-markovien en vue de rechercher d’éventuelles différences dans leur comportement stochastique, déterminé à partir de la matrice de transition de la chaîne de Markov (modèle markovien caché) et de la matrice de transition de la chaîne de Markov immergée (modèle semi-markovien caché). Les résultats originaux concernent le cas général où les distributions sont considérées comme distributions des temps de séjour ainsi que le cas particulier des modèles qui sont applique´s dans les chapitres précédents où les temps de séjour sont estimés de manière non-paramétrique. L’importance de ces différences est spécifiée à l’aide du calcul de la valeur moyenne et de la variance du nombre de sauts de la chaîne de Markov (modèle markovien caché) ou de la chaîne de Markov immergée (modèle semi-markovien caché) pour arriver dans un état donné, pour la première fois. Enfin, le chapitre 7 donne des conclusions générales en soulignant les points les plus marquants et des perspectives pour développements futurs.The first chapter describes the definition of the subject under study, the current state of science in this area and the objectives. In the second chapter, continuous-time semi-Markov models are studied and applied in order to contribute to seismic hazard assessment in Northern Aegean Sea (Greece). Expressions for different important indicators of the semi- Markov process are obtained, providing forecasting results about the time, the space and the magnitude of the ensuing strong earthquake. Chapters 3 and 4 describe a first attempt to model earthquake occurrence by means of discrete-time hidden Markov models (HMMs) and hidden semi-Markov models (HSMMs), respectively. A nonparametric estimation method is followed by means of which, insights into features of the earthquake process are provided which are hard to detect otherwise. Important indicators concerning the levels of the stress field are estimated by means of the suggested HMM and HSMM. Chapter 5 includes our main contribution to the theory of stochastic processes, the investigation and the estimation of the discrete-time intensity of the hitting time (DTIHT) for the first time referring to semi-Markov chains (SMCs) and hidden Markov renewal chains (HMRCs). A simple formula is presented for the evaluation of the DTIHT along with its statistical estimator for both SMCs and HMRCs. In addition, the asymptotic properties of the estimators are proved, including strong consistency and asymptotic normality. In chapter 6, a comparison between HMMs and HSMMs in a Markov and a semi-Markov framework is given in order to highlight possible differences in their stochastic behavior partially governed by their transition probability matrices. Basic results are presented in the general case where specific distributions are assumed for sojourn times as well as in the special case concerning the models applied in the previous chapters, where the sojourn time distributions are estimated non-parametrically. The impact of the differences is observed through the calculation of the mean value and the variance of the number of steps that the Markov chain (HMM case) and the EMC (HSMM case) need to make for visiting for the first time a particular state. Finally, Chapter 7 presents concluding remarks, perspectives and future work