Development of a meshless method using Taylor series

Ces dernières décennies, de nouvelles méthodes numériques connues sous le nom de « méthodes sans maillage » ont été développées. Contrairement à la MEF, ces méthodes n'utilisent qu'un ensemble de noeuds répartis dans le domaine sans demander un maillage de celui-ci. Jusqu'à présent, aucune de ces méthodes n'est parvenue à satisfaire les utilisateurs de la MEF. Dans cette thèse, nous proposons une méthode sans maillage, utilisant les approximations de Taylor. Cette méthode a l'avantage de n'utiliser que des points sur la frontière. En effet, l'EDP est résolue sous sa forme forte dans le domaine et les conditions aux limites sont appliquées par la méthode des moindres carrés. Cette méthode a été introduite, il y a 3 ans par S. Zeze dans sa thèse. Les tests académiques effectués en linéaire ont montré que cette méthode est très précise et que la convergence est améliorée en augmentant le degré, comme dans la p-version des EF. Nos travaux de thèse sont une suite des travaux de S. Zeze et ils visent à rendre plus robuste la méthode et aussi à élargir son champ d'application. Dans un premier temps, nous faisons une analyse mathématique de la méthode. Cette analyse passe par l'analyse des séries calculées. Le but de cette analyse est d'évaluer le domaine de convergence de la solution. Les résultats obtenus ont montré que pour certains problèmes, il faut subdiviser le domaine en quelques sous domaines et faire une résolution par sous domaine. La suite de nos travaux a donc été d'établir une technique de raccordement qui permettra d'assurer les conditions de transmission aux interfaces, dans le cas d'une résolution par sous domaine. En dernière partie, nous étendons l'application de la méthode aux problèmes non linéaires, en la couplant à une méthode de linéarisationIn these last decades, new numerical methods known as « meshless methods » have been developped. Contrary to the FEM, these methods uses only a set of nodes in the domain, without need of any mesh. Until now, any of these methods has convinced users of FEM. In this paper, we present a new meshless method using Taylor series expansion. In this method, the PDE is solved quasi exactly in the domain and the boundary conditions are applied by using a least square method. Then only the boundary discretisation is needed so the proposed method is a « true boundary meshless method ». This technique has been proposed for the first time by S. Zeze in his PhD thesis. The study of some linear problems has shown that this technique leads to a very good accuracy and that the convergence can be improved by increasing approximation degree. Our work is a continuation of S. Zeze work, and it consists to make the proposed method more robust and to extend its range of application. For that, we first make an analysis of the series computed by the method. The aim of this analysis was to evaluate the domain of validity of these series. This analysis showed that, for some problems, an accuracy cannot be obtained without splitting the domain in subdomains and making a resolution by subdomains. Therefore the second part of our work was to define a technique which will ensure the continuity at the interface between subdomains, in the case of a resolution by subdomains. The last part of our work was dedicated to non-linear problems. We establish an algorithm to show how the proposed method can deal with nonlinear-problem