Exotic options, infinitely divisible distributions and Lévy processes : theoretical and applied perspectives

Cette thèse comporte trois parties indépendantes. La première traite des formes fermées de la factorisation de Wiener-Hopf pour les processus de Lévy. Nous recensons la demie-douzaine de cas pour lesquels la factorisation peut être écrite explicitement, et mettons l'accent sur les fonctions méromorphes ayant des pôles d'ordre deux. La deuxième partie se focalise sur l'inversion de la transformée de Laplace. Son but est de présenter une nouvelle méthode approximative, dans un contexte probabiliste. Si la transformée de Laplace a un comportement facilement identifiable en zéro et si la densité associée est bornée, alors cette méthode permet d'obtenir une borne uniforme pour l'erreur commise sur la fonction de répartition. L'efficacité de cette méthode est testée sur deux exemples non triviaux. Enfin, la troisième et dernière partie est dédiée au pricing d'options exotiques dans le modèle log-stable aux moments finis de Carr et Wu. Dans certains cas, il est possible d'obtenir des formules fermées sous forme de séries convergentes pour les prix d’options lookback et barrières. Pour tous les autres cas, nous étudions divers techniques de simulation pour les trajectoires du processus sous-jacent, dans le but d'une évaluation par méthode de Monte-Carlo.This thesis consists of three independent chapters.The first one deals with closed forms of the Wiener-hopf factorization for Lévy processes. We list the known cases for which this factorization can be explicitely written and provide a detailed account when the underlying functions are meromorphic of order two.The second chapter focuses on the inversion of the Laplace transform. We present an approximative method in a probabilistic setting. If the behavior of the Laplace transform near zero is known and if the underlying density is bounded, then this method yields a uniform bound for the error on the cumulative distribution function. We test this technique on two non-trivial examples.The final chapter of the thesis is dedicated to the pricing of exotic options in the Finite Moment Log-Stable model of Carr and Wu. In some cases, it is possible to obtain closed forms (converging series) for the prices of lookback and barrier options. In all other cases, we study several simulation techniques for the trajectories of the underlying for the purpose of Monte-Carlo valuation