Algorithmic aspects of hyperelliptic curves and their jacobians

Ce travail se divise en deux parties. Dans la première partie, nous généralisons le travail de Khuri-Makdisi qui décrit des algorithmes pour l'arithmétique des diviseurs sur une courbe sur un corps. Nous montrons que les analogues naturelles de ses résultats se vérifient pour les diviseurs de Cartier relatifs effectifs sur un schéma projectif, lisse et de dimension relative un sur un schéma affine noetherien quelconque, et que les analogues naturelles de ses algorithmes se vérifient pour une certaine classe d'anneaux de base. Nous présentons un formalisme pour tels anneaux qui sont caractérisés par l'existence d'un certain sous-ensemble des opérations standards de l'algèbre linéaire pour les modules projectifs sur ces anneaux.Dans la deuxième partie de ce travail, nous considérons un type de problème de Riemann-Roch pour les diviseurs sur certaines surfaces algébriques. Plus précisément, nous analysons les surfaces algébriques qui émanent d'un produit ou d'un produit symétrique d'une courbe hyperelliptique de genre supérieur à un sur un corps (presque) arbitraire. Les résultats principaux sont une décomposition des espaces de sections globales de certains diviseurs sur telles surfaces et des formules explicites qui décrivent les dimensions des espaces de sections de ces diviseurs. Dans le dernier chapitre, nous présentons un algorithme qui produit une base pour l'espace de sections globales d'un tel diviseur.The contribution of this thesis is divided naturally into two parts. In Part I we generalise the work of Khuri-Makdisi (2004) on algorithms for divisor arithmetic on curves over fields to more general bases. We prove that the natural analogues of the results of Khuri-Makdisi continue to hold for relative effective Cartier divisors on projective schemes which are smooth of relative dimension one over an arbitrary affine Noetherian base scheme and that natural analogues of the algorithms remain valid in this context for a certain class of base rings. We introduce a formalism for such rings,which are characterised by the existence of a certain subset of the usual linear algebra operations for projective modules over these rings.Part II of this thesis is concerned with a type of Riemann-Roch problem for divisors on certain algebraic surfaces. Specifically we consider algebraic surfaces arising as the square or the symmetric square of a hyperelliptic curve of genus at least two over an (almost) arbitrary field. The main results are a decomposition of the spaces of global sections of certain divisors on such surfaces and explicit formulæ for the dimensions of the spaces of sections of these divisors. In the final chapter we present an algorithm which generates a basis for the space of global sections of such a divisor