Constantes d’Hermite et théorie de Voronoï

Cette thèse s'intéresse aux constantes d'Hermite généralisées associées au groupe linéaire adèlique. A l'image de la théorie de Voronoï classique, on y définit deux propriétés, la perfection et l'eutaxie qui caractérisent les maxima locaux de l'invariant d'Hermite. Des inégalités et liens connus dans le cas classique sont étendus au cas général et fournissent la valeur de la constante dans certains cas. Par une théorie des designs définie pour la variété drapeau et semblable à celle des designs sphériques et grassmaniens, on fournit également de nombreux exemples d'objets atteignant l'extrémum.This thesis studies generalised Hermite constants associated with the adelic general linear group. Like for the classical Voronoi theory, we define two properties, perfection and eutaxy, which characterise the local maxima of the Hermite invariant. Upper bounds and links known in the classical case are extended to the general case and provide the value of the constant in some cases. Through a theory of designs defined for the flag variety and similar to spherical or grassmanian design, we give also many examples of objects reaching locally the extremum