Mechanical models for 2D fibber networks and textiles

Ce travail aborde trois problèmes fondamentaux liés au comportement mécanique de matériaux tissés. Dans une première partie, le modèle de Wang et Pipkin pour des tissés, décrits comme des réseaux de fibres inextensibles comportant une résistance au cisaillement et à la flexion, est généralisé en un modèle prenant en compte la résistance à la torsion des fibres. Une application au comportement d’une coque cylindrique constituée de fibres hélicoïdales est traitée. Dans une deuxième partie, nous analysons l’impact de la géométrie de l’armure du tissé sur les propriétés de symétrie de l’énergie de déformation. Pour des réseaux constitués de deux familles de fibres, quatre configurations distinctes d’armure existent, selon l’angle entre les fibres et les propriétés mécaniques des fibres. Les propriétés de symétrie de l’armure déterminent le groupe de symétrie matérielle du réseau, sous l’action duquel la densité d’énergie est invariante. Dans ce contexte, des représentations des énergies de déformation d’un tissé invariantes par le groupe de symétrie matérielle du réseau sont établies. La relation entre les invariants du groupe et la courbure des fibres est analysée. Dans une troisième partie, des modèles de textiles considérés comme des surfaces dotées d’une microstructure sont élaborés, à partir d’une modification des modèles classiques de coques de Cosserat, dans lesquels la microstructure décrit les ondulations des fils à l’échelle microscopique. A partir d’une représentation du fil comme un elastica d’Euler, une expression explicite de l’énergie élastique microscopique est obtenue, qui permet d’établir un modèle simple du comportement mécanique macroscopique de tissésIn this work, we discuss three basic problems related to the mechanical behavior of textile materials. First, we extend the model of Wang and Pipkin for textiles, described as networks of inextensible fibers with resistance to shear and bending, to a model in which resistance to twist of the individual fibers is taken into account, by including torsion contributions in the elastic stored energy. As an example, we study the behaviour of a cylindrical shell made of helical fibers. Second, we study how the geometry of the weave pattern affects the symmetry properties of the deformation energy of a woven fabric. For networks made by two families of fibers, four basic types of weave patterns are possible, depending on the angle between the fibers and on their material properties. The symmetry properties of the pattern determine the material symmetry group of the network, under which the stored energy is invariant. In this context, we derive representations for the deformation energy of a woven fabric that are invariant under the symmetry group of the network, and discuss the relation of the resulting group invariants with the curvature of the fibers. Third, we develop a model for textiles viewed as surfaces with microstructure, using a modification of the classical Cosserat model for shells, in which the microstructure accounts for the undulations of the threads at the microscopic scale. Describing the threads as Euler's elastica, we derive an explicit expression for the microscopic elastic energy that allows to set up a simple model for the macroscopic mechanical behavior of textile