Development of numerical multi-scale methods for calculating structures made of strongly heterogeneous elastic and viscoelastic materials

Les bétons sont des matériaux composites à la microstructure complexe et constitués de phases dont le contraste des propriétés physiques et mécaniques peut être très grand. Ces matériaux posent des difficultés aux approches macroscopiques lorsqu'il s'agit de maîtriser leurs comportements effectifs comme celui du fluage. Malgré ces difficultés, EDF doit se doter d'outils permettant de modéliser de façon prédictive l'évolution des bétons des ouvrages en service ou de prescrire lecahier des charges des bétons de nouvelles installations. Ayant pour objectif de contribuer à la résolution de ce problème, ce travail de thèse développe des méthodes numériques multi échelle pour le calcul des structures constituées de matériaux fortement hétérogènes élastiques ou viscoélastiques. Plus précisément, ce travail de thèse comporte trois parties. Dans la première partie, nous nous intéressons à un composite constitué d'une matrice élastique renforcée par des inclusionsélastiques dont les formes géométriques peuvent être quelconques et dont la fraction volumique peut être importante. Pour modéliser ce matériau composite, une première approche numérique consistant à combiner la méthode des éléments finis étendus (XFEM) standard et la méthode "level-set" (LS) classique est d'abord utilisée. Nous montrons que cette première approche numérique, qui apparaît naturelle, induit en fait plusieurs artefacts numériques non rapportés dans la littérature, conduisant en particulier à une convergence non optimale par rapport à la finessedu maillage. Par suite, nous élaborons une nouvelle approche numérique (μ-XFEM) basée sur la description des interfaces par des courbes de niveaux multiples et sur un enrichissement augmenté permettant de prendre en compte plusieurs interfaces dans un même élément. Nous démontrons au travers des comparaisons et exemples que la convergence est améliorée de manière substantielle par rapport à la première approche numérique. Dans la deuxième partie, nous proposons une nouvelle méthode pour calculer les déformations différées des structures composées de matériaux hétérogènes viscoélastiques linéaires. Contrairement aux approches proposées jusqu'à présent, notre méthode opère directement dans l'espace temporel et permet d'extraire de manière séquentielle le comportement homogénéisé d'un matériau hétérogène viscoélastique linéaire. Concrètement, les composantes du tenseur de relaxation effectif du matériau sont d'abord obtenues à partir d'un volume élémentaire représentatif et échantillonnées au cours du temps. Une technique d'interpolation et un algorithme implicite permettent ensuite d'évaluer numériquement la réponse temporelle du matériau par le biais d'un produit de convolution. Les déformations différées des structures sont enfin calculées par la méthode des éléments finis classique. Différents tests sont effectués pour évaluer la qualité et l'efficacité de la méthode proposée, montrant que cette dernière permet d'avoir un gain en temps de l'ordre de plusieurs centaines par rapport aux approches de type éléments finis multiniveaux. La troisième partie est consacrée à l'étude de la structure de l'enceinte de confinement d'un réacteur nucléaire. Nous prenons en compte les quatre niveaux d'échelles associés à la pâte deciment, au mortier, au béton et à la structure en béton précontraint par des câbles en acier. La méthode numérique d'homogénéisation élaborée dans la seconde partie est appliquée afin de construire les lois de comportement pour chacun des trois premiers niveaux. Les résultats obtenus présentent un intérêt pratique pour résoudre des problèmes posés par EDFConcretes are composite materials having complex microstructure and consisting of phases whose physical and mechanical properties can exhibit high contrast. Difficulties arise when macroscopic approaches are used to evaluate their effective behaviors such as the creeping one. Despite thesedifficulties, EDF has to be endowed with tools allowing to model in a predictive way the evolution of concrete structures in service or to prescribe the specifications of concrete for new facilities. Aimed to contribute to solving this problem, this thesis develops multi-scale numerical methods for the computation of structures made of highly heterogeneous elastic or viscoelastic materials. More precisely, this thesis comprises three parts. In the first part, we focus on a composite consisting of an elastic matrix reinforced by elastic inclusions which may be of any geometric shapes and whose volume fraction can be significant. To model this composite material, a first numerical approach which combines the standard extended finite element method (XFEM) and the classical level-set method (LSM) is used. We show that this numerical approach, which appears natural, leads in fact to several numerical artefacts having not been reported in the literature, giving rise in particular to non-optimal convergence with respect to the fineness of the mesh. In view of this, we develop a new numerical approach based on the description of the interfaces with multiple level sets and augmented enrichment so as to account for multiple interfaces in a single finite element. We demonstrate through examples and benchmarks that the proposed method significantly improves convergence compared to the first numerical approach. In the second part, we elaborate a new method to compute the creeping of structures formed of linearly viscoelastic heterogeneous materials. Unlike the approaches proposed up to now, our method operates directly in the time space and allows to sequentially extract the homogenized properties of a linearly viscoelastic heterogeneous material. Precisely, the components of the effective relaxation tensor of the material is first obtained from a representative volume element and sampled over time. An interpolation technique and an implicit algorithm are then used to numerically evaluate the time-dependent response of the material through a convolution product. The creeping of structures is finally calculated by the classical finite element method. Various tests are performed to assess the quality and effectiveness of the proposed method, showing that it can give a gain of time of the order of several hundreds compared to approaches such as multi-level finite element. The third part of the thesis is devoted to the study of the structure of containment of a nuclear reactor. We consider four scale levels associated with cement paste, mortar, concrete and a pre-stressed concrete structure with steel cables. The numerical method of homogenization developed in the second part is applied to construct the constitutive equations for each of the first three scale levels. The results thus obtained are useful for solving some practical problems posed by ED