Specializations of Galois covers

Dans ce travail, on s'intéresse à étudier des questions concernant la spécialisation de revêtements galoisiens. Le point de départ est le problème de Beckmann-Black. Etant donnée une extension galoisienne E/K de groupe G, existe-t-il un revêtement galoisien f de groupe G défini sur K qui se spécialise en E/K en un point t_0\in K? Un premier résultat est une réponse locale: si S est un ensemble fini de places finies de K, on peut trouver un revêtement galoisien f de groupe G, défini sur une extension finie L/K tel que pour v\in S, L/K est totalement décomposée dans K_v et le revêtement f, étendu à L_v = K_v, se spécialise en EK_v/K_v en un point t_0 \in K (fixé à l'avance). On peut demander en plus que f, vu sur L, se spécialise en une extension de groupe G isomorphe à EL/L (au même point t_0). Un deuxième résultat correspond à l'énoncé similaire mais avec les extensions EK_v/K_v remplacées par des extensions locales E^v/K_v plus générales, qui ne proviennent pas forcément d'une extension globale E/K; on suppose qu'elles sont de groupe H_v \subset G et sont non ramifiées. Il y a pour ce deuxième résultat des hypothèses sur les corps résiduels. Ce deuxième énoncé est relié au problème de Grunwald. Le troisième résultat est lié à l'énoncé précédent qui combine une conclusion de type Grunwald-Wang pour les groupes arbitraires, une version effective du théorème de Hilbert et le problème inverse de Galois.In our work, we are interested to study some open questions concerning the specialization of Galois covers. The starting point is the Beckmann-Black problem. This problem asks whether a given finite Galois extension E/K of group G is the specialization of some Galois cover f of group G definite over K at some point t_0 \in K ? The first result is a conclusions local: if S is a finite ensemble of finites places of K, we can find a Galois cover f of group G definite over a finite extension L/K such that for all v\in S, L/K is totally split in K_v and the specialization of the cover f, after scalars extension to L_v=K_v, is a Galois extension isomorphic to EL/L (in the same point t_0). The second result is in the same statement but with extensions EK_v / K_v replaced by with local extensions E^v/K_v, which do not necessarily come from a global extension E / K; we assume that they are unramified of group H_v\subset G. With some hypotheses on the residual fields, this second result is related to the problem of Grunwald. The third result combines a conclusion of the Grunwald-Wang problem for arbitrary groups, an effective version of Hilbert's theorem and the inverse problem of Galois