Dimensional reduction of type PGD for solving incompressible flows

L’objectif de ce travail consiste à développer la méthode de résolution PGD (Proper Generalized Decomposition), qui est une méthode de réduction de modèle où la solution est recherchée sous forme séparée, à la résolution des équations de Navier-Stokes. Dans un premier temps, cette méthode est appliquée à la résolution d’équations modèles disposant d’une solution analytique. L’ équation de diffusion stationnaire 2D et 3D, l’équation de diffusion instationnaire 2D et les équations de Burgers et Stokes sont traitées. Nous montrons que dans tous ces cas la méthode PGD permet de retrouver les solutions analytiques avec une précision équivalente au modèle standard. Nous mettons également en évidence la supériorité de la PGD par rapport au modèle standard en terme de temps de calcul. En effet, dans tous ces cas, laPGD se montre beaucoup plus rapide que le solveur standard (plusieurs dizaine de fois). La résolution des équations de Navier-Stokes isothermes et anisothermes est ensuite effectuée par une discrétisation volumes finis sur un maillage décalé où le couplage vitesse-pression a été géré à l’aide d’un schéma de prédiction-correction. Dans ce cas une décomposition PGD sur les variables d’espaces uniquement a été choisie. Pour les écoulements incompressibles 2D stationnaire ou instationnaire, de type cavité entrainée et/ou différentiellement chauffé, les résultats obtenus par résolution PGD sont similaires à ceux du solveur standard avec un gain de temps significatif (la PGD est une dizaine de fois plus rapide que le solveur standard). Enfin ce travail introduit une première approche de la résolution des équations de transferts par méthode PGD en formulation spectrale. Sur les différents problèmes traités, à savoir l’équation de diffusion stationnaire, l’équation de Darcy et les équations de Navier-Sokes, la PGD a montré une précision aussi bonne que le solveur standard. Un gain de temps a été observé pour le cas de l’équation de Poisson, par contre, concernant le problème de Darcy ou les équations de Navier-Stokes les performances de la PGD en terme de temps de calcul peuvent encore être améliorées.Motivated by solving the Navier-Stokes equations, this work presents the implementation and development of a reduced order model, the PGD (Proper Generalized Decomposition).Firstly, this method is applied to solving equations models with an analytical solution. The stationary diffusion equation 2D and 3D, 2D unsteady diffusion equation and Burgers equations and Stokes are processed. We show that in all these cases, the PGD method allows to find analytical solutions with a good accuracy compared to the standard model. We also demonstrate the superiority of the PGD relative to the standard model in terms of computing time. Indeed, in all these cases, PGD was much more rapid than the standard solver (several dozen times). The Navier-Stokes 2D and 3D thermal and isothermal isotherms are then processed by a finite volume discretization on a staggered grid where the velocity-pressure coupling was handled using a prediction-correction scheme. In this case a decomposition of the space variables only was chosen. The results in 2D for Reynolds numbers equal to 100, 1000and 10, 000 are similar to those of the solver standard with a significant time saving (PGD isten times faster than the solver standard). Finally, this work introduces a first approach tosolving the Navier-Stokes equations with a spectral method coupled with the PGD. Different cases were dealed, the stationary diffusion equation, the Darcy equation and the Navier-Sokesequations. PGD showed a good accuracy compared with the standard solver. Saving time was observed for the case of the Poisson equation, on the other hand, about Darcy’s problem or Navier-Stokes’ equations, performance of the PGD in terms of computing time may yet be improved