Constitutive Law and Natural Frequency Analysis of the Metatarsal Plantar Soft Tissue

在得到前足部足底軟組織的應力、應變對時間的曲線後，我們找到一個有效的數學模型(組成律)來對此進行分析，在確立組成律的方程式之後，使用最佳化的方式來求出與實驗結果相符的組成律係數值，接者觀察線性組成律及非線性組成律在特定的應變輸入下所反應出來的應力曲線及能量散失的趨勢，最後假設一個軟組織的長塊狀模型，利用Hamilton’s principle推導其運動方程式，並對此模型做頻率分析，觀察組成律係數之改變對於振幅及頻率所造成的影響。Based on the time histories of stress and strain of the sole under metatarsal heads during the loading and unloading process, we propose an appropriate, nonlinear, viscoelastic model that describes probably the constitutive law for that soft tissue. We use the technique of optimization to find the parameters in the equation of the constitutive law that fit best the experimental data. By varying the strain waveform, we can derive theoretically the explicit equation expressing the relation between the energy dissipation and the parameters of the constitutive law. Besides the stress and strain analysis, we have also done the vibration analysis of the sole’s soft tissue. We use Hamilton’s principle to derive the equations of vibration of the sole’s soft tissue. The effects of the parameters in constitutive law and the geometric size of the soft tissue on the frequency shift and amplitude change are studied.誌謝 i 摘要 ii Abstract iii 目錄 iv 圖目錄 vii 第1章 導論 1 1.1 前言 1 1.2 文獻回顧 1 1.3 研究動機及目的 2 1.4 本文架構 2 第2章 組成律之模型及其參數最佳化過程 3 2.1 決定組成律 3 2.1.1 線性組成律 4 2.1.2 非線性級數組成律 6 2.1.3 非線性指數組成律 8 2.1.4 組成律修正 10 2.2 組成律係數最佳化 10 2.2.1 最佳化方法 10 2.2.2 對原始數據最佳化 12 2.2.3 應變曲線平滑化 13 2.2.4 平滑化後的最佳化結果 16 2.2.5 波形平移 17 第3章 能量散失探討 20 3.1 遲滯曲線面積與能量散失的關係 20 3.2 線性組成律 21 3.2.1負載、卸載之應變速率為相同的定值 22 3.2.2 負載、卸載之應變速率為不同的定值 25 3.2.3 梯形的應變曲線 28 3.3 非線性組成律 30 3.3.1 負載、卸載之應變速率為相同的定值 30 3.3.2負載、卸載之應變速率為不同的定值 33 3.3.3 梯形的應變曲線 35 3.3.4 餘弦應變曲線 37 3.3.5 卸載延遲的餘弦應變曲線 41 第4章 自然頻率分析 46 4.1 軟組織幾何模型及條件假設 46 4.1.1 模形及符號設定 46 4.1.2 假設條件 47 4.2 運動方程式及邊界推導 47 4.2.1 功、位能 47 4.2.2 動能 49 4.2.3 運動方程式及邊界 52 4.2.4 泰勒展開 53 4.3 線性偏微分方程式 54 4.3.1 不考慮側向變形及阻尼效應 54 4.3.2 外力為常數 55 4.3.3 外力 非常數 56 4.4 非線性偏微分方程式 57 4.5 線性方程式之自然頻率分析 57 4.5.1 自然頻率 57 4.5.2 材料係數對自然頻率的影響 60 第5章 結論與未來展望 62 參考文獻 64 附錄 A 66 附錄 B 7