Plane-Stress Model for Piezoelectric Phononic Crystals

聲子晶體的頻帶間隙特性造就許多有效的新裝置。本文研究具平面應力特性的二維壓電聲子晶體的波傳頻譜，基於平面應力忽略厚度方向上位移在動態行為下慣性造成的影響，所以提出了一修正平面應力模式，以期能適用於更大的頻率範圍。 首先利用平面應力條件配合上下表面電性的邊界條件，找出厚度方向上因為泊松效應造成的應變及相對應的厚度方向上的位移，使用漢彌爾頓原理找出此狀況下的統御方程式。再利用平面波展開法推導其波傳理論，使用倒晶格向量配合布洛赫理論對相關的材料常數與位移作傅立葉展開，代入統御方程式，推導出一廣義特徵方程式，利用數值方法可解出特徵值和特徵向量，由此求得二維壓電週期結構之波傳頻譜與位移場形。 使用前述理論推導，針對不同材料組成、厚度以及電性邊界下，探討其對頻帶間隙的影響。發現未修正模式與修正模式下低頻的色散曲線並無太大差異，但在高頻時修正平面應力模式下的色散曲線則會隨著厚度的增加而往低頻移動；並探討各個頻帶的位移場形圖，進一步瞭解各材料的運動情形，提供更多可資應用的特性。Possessing the properties of band gaps, phononic crystals have led the invention of many new devices. In order to handle this characteristic potential, the spectrum of a plane-stress piezoelectric phononic crystal is studied in this thesis. Base on plane-stress assumption neglect the inertia effect of the displacement in the direction of thickness in dynamic situation. Modified plane-stress model is suitable for use in a wider frequency range. First of all, the plane-stress and electric boundary conditions are employed to derive the strain and relative displacement because of Poisson effect, then we derive the governing equation by Hamilton principle. The plane wave expansion method and the Bloch theorem are used to modify the governing equation into the one fit for periodic structures. The material parameters and displacement fields are expanded with Fourier series with respect to reciprocal lattice vectors. Finally, a generalized eigenvalue problem is formed that is solved with numerical method to obtain the frequency spectrum and the displacement fields. The band gaps are found from the frequency spectrum. A study based on changing the materials, thickness, and electric boundary conditions is performed. We find that there is no difference between the dispersion curve of plane-stress model and modified plane-stress model in low frequency range. But the dispersion curve of modified plane-stress model will move down in high frequency range. Finally, by observing the phase of the displacement field, the dynamic situation of materials in the periodic structure is further understood that also provide useful information.目 錄 中文摘要 i 英文摘要 ii 目錄 iii 表目錄 vi 圖目錄 vii 符號表 xi 第一章 緒論 1 1.1研究動機 1 1.2 文獻回顧 1 1.3本文目的與內容簡介 4 第二章 壓電變分原理與修正平面應力模式 6 2.1壓電變分原理 6 2.2平面應力 9 2.2.1修正的平面應力模式 10 2.3壓電材料 12 2.3.1氮化鋁、PZT壓電材料簡介 12 2.3.2平面應力 13 2.3.3電極效應 14 2.3.3.1上下表面有電極 14 2.3.3.2上下表面無電極 15 2.3.4修正平面應力模式 16 2.3.4.1上下表面有電極 16 2.3.4.2上下表面無電極 18 第三章 均質材料結構與週期結構之波傳分析 20 3.1均質材料結構 20 3.2 複合材料結構 21 3.2.1週期結構 21 3.2.1.1倒置晶格向量 21 3.2.1.2布里瓦區 23 3.2.1.3布洛赫理論 23 3.2.2平面波展開法 24 3.2.3材料性質的傅立葉級數係數 27 3.2.3.1兩種材料組成的週期結構 27 3.2.3.2圓形內含物之結構函數 29 3.2.3.3三種材料組成的週期結構 29 3.2.3.4圓形內含物之結構函數 31 第四章 平面應力結構之頻譜 32 4.1 數值方法 32 4.2 均質材料頻譜 33 4.3 平面波展開法之收斂性 34 4.4兩種材料與三種材料組成之週期結構比較 35 4.5 三種材料組成的週期結構之平面應力頻譜 36 4.5.1 不同厚度比較 36 4.5.2 上下表面電極的效應 36 4.5.3 不同壓電基材比較 37 4.6 二維壓電結構模態 38 第五章 結論與建議 40 參考文獻 42 附表 45 附圖 46 附錄 73 表 目 錄 表4.1 前15條色散曲線在n=10和n=9的差異 45 表4.2 上下表面有無電極第五條跟第十條色散曲線的差異 45 圖 目 錄 圖2.1 材料結構在 、 方向延伸， 方向上為有限厚度 46 圖3.1 （a）正方晶格向量（b）倒置晶格向量（c）第一布里瓦區 47 圖3.2 (a）兩種材料組成的二維週期結構示意圖 （b）兩種材料組成週期結構的單位晶胞示意圖 48 圖3.3 （a）三種材料組成的二維週期結構示意圖 （b）三種材料組成週期結構的單位晶胞示意圖 48 圖4.1 修正的平面應力模式下金的色散曲線 49 圖4.2 平面應力模式下金的色散曲線 49 圖4.3 平面應力與修正平面應力模式在不同厚度下金的頻譜圖 50 圖4.4 第一布里瓦區內最小不可重複區域 50 圖4.5 X點上前十個特徵頻率的收斂性質圖 51 圖4.6 （a）Au-PZT上下表面有電極週期結構之波傳頻譜圖 （b）Au-PMMA-PZT上下表面有電極週期結構之波傳頻譜圖 52 圖4.7 （a）Au-PZT上下表面無電極週期結構之波傳頻譜圖 （b）Au-PMMA-PZT上下表面無電極週期結構之波傳頻譜圖 53 圖4.8 （a）上下表面有電極三種材料組成週期結構圖 （b）上下表面有電極平面應力模式頻譜圖 54 (c）上下表面有電極修正平面應力模式 頻譜圖 （d）上下表面有電極修正平面應力模式 頻譜圖 55 圖4.9 （a）上下表面有電極平面應力模式及修正模式 頻譜比較圖 （b）上下表面有電極平面應力模式及修正模式 頻譜比較圖 56 圖4.10 (a）上下表面無電極三種材料組成週期結構圖 （b）上下表面無電極平面應力模式頻譜圖 57 （c）上下表面無電極修正平面應力模式 頻譜圖 （d）上下表面無電極修正平面應力模式 頻譜圖 58 圖4.11 （a）上下表面無電極平面應力模式及修正模式 頻譜比較圖 （b）上下表面無電極平面應力模式及修正模式 頻譜比較圖 59 圖4.12 上下表面有無電極的頻譜結構比較 60 圖4.13 （a）Au-PMMA-PZT上下表面無電極正方晶格之波傳頻譜圖 （b）Au-PMMA-AlN上下表面無電極正方晶格之波傳頻譜圖 61 圖4.14 Au-PMMA-AlN週期結構部分俯視圖 62 圖4.15 Au-PMMA-AlN週期結構第二條色散曲線 時 （a）位移 的實部、虛部 （b）位移 的實部、虛部 63 （c）位移 的振幅、相位 （d）位移 的振幅、相位 64 圖4.16 Au-PMMA-AlN週期結構第二條色散曲線 時 （a）位移 的實部、虛部 （b）位移 的實部、虛部 65 （c）位移 的振幅、相位 （d）位移 的振幅、相位 66 圖4.17 Au-PMMA-AlN週期結構第三條色散曲線 時 （a）位移 的實部、虛部 （b）位移 的實部、虛部 67 （c）位移 的振幅、相位 （d）位移 的振幅、相位 68 圖4.18 Au-PMMA-AlN週期結構第三條色散曲線 時 （a）位移 的實部、虛部 （b）位移 的實部、虛部 69 （c）位移 的振幅、相位 （d）位移 的振幅、相位 70 圖4.19 Au-PMMA-AlN週期結構 時 （a）第二條色散曲線中位移 的實部 （b）第三條色散曲線中位移 的實部 71 圖4.20 Au-PMMA-AlN週期結構第 時 （a）第二條色散曲線中位移 的實部 （b）第三條色散曲線中位移 的實部 7