Using Brownian Bridge for Fast Simulation of Rainbow Barrier Options

在評價多資產衍生性金融商品時，一般使用蒙地卡羅模擬(Monte Carlo simulation)，在每一觀察時點模擬出股價再套入報酬公式即可求出理論價值，然後，針對那些屬於連續觀察報酬型態的商品，如果就每個資產每天都模擬出一個股價來，在計算速度上必然會花費許多時間；此外，使用蒙地卡羅來模擬障礙選擇權之路徑時，易有偏差。本論文主要利用布朗橋(Brownian bridge)來調整蒙地卡羅模擬，並用之來評價兩個具有彩虹式障礙選擇權型態的結構型商品；相較於傳統蒙地卡羅模擬方法，使用布朗橋調整之蒙地卡羅更能快速地收斂至實際價格。This thesis develops a fast Monte Carlo approach to price multi-asset barrier options, the so-called rainbow barrier options. We develop a computational method based on the Brownian bridge concept to find the exiting probabilities for a multivariate stochastic process. Compared with the standard Monte Carlo simulation to estimate the option value that the assets are continuously monitored, our method converges rapidly.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Mathematical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Basic Model Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Notations and Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Exiting Probability for Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Pricing Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4.1 The Standard Monte Carlo Estimator . . . . . . . . . . 7 2.4.2 Estimators Based on Brownian Bridge . . . . . . . . . 8 2.5 Exiting Probabilities of Continuous-time Maximum and Minimum . . . . 10 3 Altiplano Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1 Pricing Altiplano Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.1 A Pricing Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.2 The Independence Estimator . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.3 Biased Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Algorithms and Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Annapurna Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1 Pricing Annapurna Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1 A Pricing Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.2 The Independence Estimator . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.3 Biased Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Algorithms and Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3