T矩陣法運用於具孔洞平板之動態應力分析

本文探討含孔洞平板受一簡諧張力作用下，平板的動態反應，旨在運用T矩陣法計算散射場域，求取動態應力集中因子，以及確定動態載重作用下，應力集中因子相較於靜態載重的放大效應。 本文利用滿足Helmholtz波動方程式的其中一組解為之散射波基函數，該基函數建構在圓柱座標上，且滿足無窮遠處的輻射條件。另外，由於平板的邊界條件衍生出複雜的散射行為，其散射行為可分解成兩部分探討，其中第一部份為以座標原點為波源之散射波基函數，適用於無限域之問題，但遭遇平直邊界反射的問題時，該前述基函數便不適用，故須推導第二部分具反射特性的再散射基函數。此兩類基函數疊加後，可逐階自動滿足邊界條件，且滿足輻射條件。板的問題中具有代表性的外力型式便是動態簡諧張力及其所蘊含的波導現象，本文中將探討板中波導現象，頻率方程式及各特徵模態之性質，此場域將視為探討板中散射問題的入射場，並利用數值的方法將入射場以散射波基函數為基底展開。 利用上述所建立的入射場、散射場與再散射場，透過驗證Pao(1978)文章中三條正交條件建立T矩陣公式，而求得散射係數，進而得知總位移場及總應力場。目 錄 謝 誌.................................................一 摘 要.................................................二 目 錄.................................................三 圖目錄................................................六 表目錄................................................十 第一章 緒論 1.1 前言..............................................1 1.2 文獻回顧..........................................2 1.3 問題描述..........................................4 1.4 論文架構..........................................4 第二章 基函數之建立 2.1 基函數之圓柱座標表示式............................6 2.1.1 運動方程式推導..................................6 2.1.2 圓柱座標表示式.................................10 2.2 基函數之傅氏譜積分表示式.........................13 2.2.1 傅氏譜積分表示式...............................13 2.2.2 傅氏譜積分表示式的數值積分.....................16 2.3 數值積分驗證.....................................21 第三章 符合平板邊界條件之基函數 3.1 符合平板邊界條件之基函數.........................23 3.2 上下層的反射係數.................................25 3.3 再散射場基函數之數值積分.........................40 3.4 再散射場基函數之檢核與討論.......................48 第四章 具波導型式入射場之建立 4.1 自由面上的反射條件...............................50 4.2 平板中之波導.....................................52 4.3 頻率方程式與模態的推導...........................53 4.4 入射場之基函數展開式.............................61 第五章 T矩陣法運用於散射現象 5.1 貝蒂第三恆等式...................................62 5.2 正交條件.........................................64 5.3 邊界平板之T矩陣法................................66 5.3.1 符合平板邊界條件之基底函數.....................66 5.3.2 T矩陣法........................................68 5.3.3 Q矩陣公式......................................72 5.4 邊界平板具孔洞之T矩陣法..........................77 5.4.1 符合邊界平板之基函數與T矩陣法..................77 5.4.2 Q矩陣公式......................................79 5.4.3 針對二次源形成反射波部分之正交性驗證...........83 第六章 結論與展望 6.1 結果與討論.......................................84 6.2 展望.............................................87 參考文獻.............................................89 圖 目 錄 圖1.1 板之幾何、受力狀態.............................101 圖1.2 基函數符合邊界條件之示意圖.....................101 圖2.1 的上下左右相對關係圖...........................102 圖2.2 的上下左右相對關係圖...........................102 圖2.3 的上下左右相對關係圖...........................102 圖2.4 的上下左右相對關係圖...........................103 圖2.5 場值計算範圍...................................103 圖2.6 不同角度時 之最速陡降路徑......................104 圖2.7 分支切割線兩端 對應 的圖形.....................104 圖2.8 之積分路徑 及分支線 之示意圖...................105 圖2.9 修正分支切割線後， 對應 的圖形.................105 圖2.10 之積分路徑 及分支線 之示意圖..................106 圖2.11 位移向量 的極座標分量比較圖...................106 圖2.12 曳引力向量( ) 的圓柱座標分量比較圖............107 圖3.1 平板中之散射行為...............................108 圖3.2 平板中勢能場之示意圖...........................108 圖3.3 上層部分示意圖.................................108 圖3.4 下層部分示意圖.................................109 圖3.5 上下對稱型之Rayleigh-Lamb極點分佈圖............109 圖3.6 P波波源反射為P波之假想波源示意圖...............110 圖3.7 P波波源反射為SV波之假想波源示意圖..............110 圖3.8 上下反對稱型之Rayleigh-Lamb極點分佈圖..........111 圖3.9 SV波波源反射為P波之假想波源示意圖..............111 圖3.10 SV波波源反射為SV波之假想波源示意圖............112 圖3.11 上下對稱型之積分路徑示意圖....................112 圖3.12 上下反對稱型之積分路徑示意圖..................113 圖3.13 平板自由面的曳引力 、 ........................113 圖4.1 入射場之受力狀態...............................114 圖4.2 P波和SV波的入射和反射..........................114 圖4.3 P波入射之示意圖................................114 圖4.4 SV波入射之示意圖...............................115 圖4.5 對稱型P波示意圖................................115 圖4.6 反對稱型P波、對稱型SV波、反對稱型SV波示意圖....115 圖4.7 最低四個上下對稱振型的分支， ..................116 圖4.8 最低四個上下反對稱振型的分支， ................116 圖4.9 擬靜態之入射場位移與應力空間分佈圖.............117 圖4.10 之入射場位移與應力空間分佈圖..................118 圖4.11 之入射場位移與應力空間分佈圖..................119 圖4.12 之入射場位移與應力空間分佈圖..................120 圖5.1 邊界為 之埋置物示意圖..........................121 圖5.2 邊界條件之示意圖...............................121 圖6.1 不同孔洞大小擬靜態與靜態應力集中係數比較圖.....122 圖6.2 a/h=0.1擬靜態T矩法陣與最小二乘法環向應力沿孔洞之分佈比較圖。其中線為T矩陣法的解，圓圈為最小二乘法的解....122 圖6.3 a/h=0.3擬靜態T矩法陣與最小二乘法環向應力沿孔洞之分佈 比較圖。其中線為T矩陣法的解，圓圈為最小二乘法的解....123 圖6.4 a/h=0.5擬靜態T矩法陣與最小二乘法環向應力沿孔洞之分佈比較圖。其中線為T矩陣法的解，圓圈為最小二乘法的解....123 圖6.5 a/h=0.7擬靜態T矩法陣與最小二乘法環向應力沿孔洞之分佈比較圖。其中線為T矩陣法的解，圓圈為最小二乘法的解....123 圖6.6 a/h=0.1動態應力集中因子與頻率之關係圖..........124 圖6.7 a/h=0.1不同頻率之 所對應的角度.................124 圖6.8 a/h=0.3動態應力集中因子與頻率之關係圖..........125 圖6.9 a/h=0.3不同頻率之 所對應的角度.................125 圖6.10 a/h=0.5動態應力集中因子與頻率之關係圖.........126 圖6.11 a/h=0.5不同頻率之 所對應的角度................126 圖6.12 a/h=0.6動態應力集中因子與頻率之關係圖.........127 圖6.13 a/h=0.6不同頻率之 所對應的角度................127 圖6.14 不同孔徑時，最大環向應力與頻率之關係圖........128 圖6.15 不同孔徑時，動態應力集中因子與頻率之關係圖....128 圖6.16 a/h=0.1, =0.5環向應力沿孔洞之分佈圖...........129 圖6.17 a/h=0.1, =1.0環向應力沿孔洞之分佈圖...........129 圖6.18 a/h=0.1, =1.4環向應力沿孔洞之分佈圖...........129 圖6.19 a/h=0.3, =0.5環向應力沿孔洞之分佈圖...........130 圖6.20 a/h=0.3, =1.0環向應力沿孔洞之分佈圖...........130 圖6.21 a/h=0.3, =1.2環向應力沿孔洞之分佈圖...........130 圖6.22 a/h=0.3, =1.4環向應力沿孔洞之分佈圖...........131 圖6.23 a/h=0.5, =0.5環向應力沿孔洞之分佈圖...........131 圖6.24 a/h=0.5, =1.0環向應力沿孔洞之分佈圖...........131 圖6.25 a/h=0.5, =1.1環向應力沿孔洞之分佈圖...........132 圖6.26 a/h=0.5, =1.2環向應力沿孔洞之分佈圖...........132 圖6.27 a/h=0.5, =1.4環向應力沿孔洞之分佈圖...........132 圖6.28 a/h=0.6, =0.5環向應力沿孔洞之分佈圖...........133 圖6.29 a/h=0.6, =0.9環向應力沿孔洞之分佈圖...........133 圖6.30 a/h=0.6, =1.1環向應力沿孔洞之分佈圖...........133 圖6.31 a/h=0.6, =1.3環向應力沿孔洞之分佈圖...........134 圖6.32 a/h=0.6, =1.4環向應力沿孔洞之分佈圖...........134 圖6.33 =1.0不同孔徑時，平板邊界 位移之關係圖.........135 圖6.34 =1.0不同孔徑時，平板邊界 位移之關係圖.........135 圖6.35 橢圓之極座標表示圖............................136 圖6.36 a/h=0.5,b=0.75a, =1.4環向應力沿孔洞之分佈圖...136 圖6.37 a/h=0.5,b=0.75a, =1.4環向應力沿孔洞之分佈圖...137 表 目 錄 表2.1 時位移場與應力場之相對關係表....................93 表2.2 時位移場與應力場之相對關係表....................94 表2.3 時位移場與應力場之相對關係表....................95 表2.4 時位移場與應力場之相對關係表....................96 表4.1 入射場之基函數展開後與入射場未展開前做比較，在 、 、 、 ..........................................97 表5.1 、 相對關係表在 、 、 ..........................98 表5.2 數值積分值在 、 ， 、 、 …...99 表6.1 低頻狀態與靜態的結果比較.......................100 表6.2 時孔洞上 、 之最大值...........................10