Freie Randwertprobleme und mittlere Krümmung

In this thesis we consider the following three free boundary value problems for (hyper-)surfaces that are governed by the mean curvature of the (hyper-)surface: 1\. "A monotonicity formula for free boundary surfaces with respect to the unit ball" We prove a monotonicity identity for compact surfaces with free boundaries inside the boundary of the unit ball in Rn that have square integrable mean curvature. As one consequence we obtain a Li-Yau type inequality in this setting, thereby generalizing results of Oliveira and Soret, and Fraser and Schoen. Then we derive some sharp geometric inequalities for compact surfaces with free boundaries inside arbitrary orientable support surfaces of class C2. Furthermore, we obtain a sharp lower bound for the L1 -tangent-point energy of closed curves in R3 thereby answering a question raised by Strzelecki, Szumańska, and von der Mosel. 2\. "Relative isoperimetric properties of asymptotically flat support surfaces" We define a notion of mass for asymptotically flat hypersurfaces S of euclidean space and prove a positive mass theorem in all dimensions. Then we establish a free boundary version of an obstruction discovered by Schoen and Yau in their proof of the positive mass theorem, and refined by Eichmair and Metzger, and very recently by Carlotto: positive mean curvature of S in R3 is not compatible with the existence of (certain) stable free boundary minimal surfaces. We then use this to prove that given a compact set K of R3, all volume-preserving stable free boundary constant mean curvature surfaces with respect to S of sufficiently large boundary length will avoid K, thereby obtaining a free boundary version of the main result in [Eichmair-Metzger, 2012]. Finally, inspired by ideas of Eichmair and Metzger we prove the existence of arbitrarily large isoperimetric regions relative to S. 3\. "Weak solutions of nonlinear mean curvature flow with Neumann boundary condition" We propose a new flow approach to obtain relative isoperimetric inequalities. As a first step in this program we develop a weak level set formulation for mean curvature flow and positive powers of mean curvature flow with Neumann boundary condition. We prove the existence of weak solution under natural conditions on the supporting surface and derive some properties for the evolving surfaces. The case of surfaces without boundary has been treated by Schulze.In der vorliegenden Arbeit betrachten wir drei freie Randwertprobleme für (Hyper-)Flächen welche durch die mittlere Krümmung der (Hyper-)Fläche beschrieben werden: 1\. "Eine Monotonieformel für Flächen mit freiem Rand bezüglich der Einheitskugel" Wir beweisen eine Monotonieidentität für kompakte Flächen mit freien Rändern in dem Rand der Einheitskugel des Rn welche quadratisch integrierbare mittlere Krümmung besitzen. Als eine Konsequenz erhalten wir eine Ungleichung vom Li-Yau Typ für diesen Fall, wodurch wir Resultate von Oliveira und Soret, und Fraser und Schoen verallgemeinern. Im Anschluss leiten wir einige scharfe geometrische Ungleichungen für kompakte Flächen mit freien Rändern in beliebigen orientierbaren Stützflächen der Klasse C2 her. Außerdem erhalten wir eine scharfe untere Schranke an die L1-Tangentialpunktenergie für geschlossene Kurven im R3, wodurch wir eine Frage von Strzelecki, Szumańska, und von der Mosel beantworten. 2\. "Relative isoperimetrische Eigenschaften asymptotisch flacher Stützflächen" Wir definieren einen Massebegriff von asymptotisch flachen Hyperflächen S des euklidischen Raums und beweisen ein positive-Masse-Theorem in allen Dimensionen. Im Anschluss leiten wir eine freie-Randwert-Version einer Obstruktion her, welche von Schoen und Yau in ihrem Beweis des positive-Masse- Theorems entdeckt, und durch Eichmair und Metzger, und sehr kürzlich von Carlotto verfeinert wurde: positive mittlere Krümmung von S in R3 ist nicht kompatibel mit der Existenz (gewisser) stabiler Minimalflächen mit freiem Rand. Wir benutzen dies dann um zu zeigen, dass für gegebenes Kompaktum K des R3, alle stabilen Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung und freiem Rand bezüglich S mit hinreichend großer Randkurvenlänge K entgehen, wodurch wir eine freie-Randwert-Version des Hauptresultats in [Eichmair-Metzger, 2012] erhalten. Schließlich, inspiriert durch Ideen von Eichmair und Metzger, beweisen wir die Existenz von beliebig großen isoperimetrischen Mengen relativ zu S. 3\. "Schwache Lösungen vom nichtlinearen Mittleren Krümmungsfluss mit Neumann Randwerten" Wir schlagen einen neuen Flussansatz vor um relative isoperimetrische Ungleichungen zu erhalten. Als ersten Schritt dieses Programms entwickeln wir ein schwache Niveauflächenformulierung für den Fluss entlang der mittleren Krümmung und entlang positiver Potenzen der mittleren Krümmung mit Neumann Randwerten. Wir beweisen die Existenz von schwachen Lösungen unter natürlichen Bedingungen an die Stützfläche und leiten einige Eigenschaften der evolvierenden Flächen her. Der Fall für Flächen ohne Rand wurde von Schulze behandelt