Investigation of the Vacuum Polarization on the Lattice

Titel Danksagung 1\. Einleitung 1 1.1 Überblick 2\. Phänomenologische Grundlagen 3 2.1 Renormalonbeiträge zur Vakuumpolarisation 2.2 OPE der Vakuumpolarisation 3\. QCD auf dem Gitter 13 3.1 Pfadintegralformalismus der QCD 3.2 Euklidische Feldtheorie 3.3 Euklidisches Raum-Zeit-Gitter 3.4 Fermionen auf dem Gitter 3.5 Nielsen-Ninomiya-Theorem 3.6 Wilson-Fermionen 3.7 Eichfelder auf dem Gitter 3.8 Eigenschaften der Wilson-Fermionen 3.9 Eichfeldwirkung 3.10 Valenzquarkapproximation 3.11 Erzeugung von Eichfeldkonfigurationen 3.12 Die Skala a 3.13 Gitter und MS-Schema 3.13.1 Quarkmasse der Sheikholeslami-Wohlert-Fermionen 3.13.2 Quarkmasse der Wilson-Fermionen 3.14 Numerische Implementation 4\. Konstruktion der Vakuumpolarisation auf dem Gitter 33 4.1 Vakuumpolarisation im Kontinuum 4.1.1 Ward-Takahashi-Identität im Kontinuum 4.1.2 Vakuumpolarisation 4.2 Ward-Identität des erhaltenen Vektorstroms 4.3 Ward-Identität für die Polarisationsfunktion 4.4 Vertizes 5\. O(a)-Verbesserung 43 5.1 Gitterfehler 5.2 Effektiver Kontinuumslimes 5.3 Verbesserung der Wirkung 5.4 Verbesserung des erhaltenen Vektorstroms 5.5 Ward-Identität mit Verbesserungsterm 5.6 Polarisationstensor im Ortsraum 5.7 Fouriertransformierte im freien Fall g=0 5.8 Eichinvarianz 6\. Ergebnisse 60 6.1 Der Fall U(x)=1 6.1.1 Impulsauswahl und Tensorstruktur 6.1.2 Das Impulsargument der Polarisationsfunktion 6.1.3 Randbedingungen 6.2 QCD-Wechselwirkung 6.2.1 Volumeneffekte 6.2.2 Operatorverbesserung 6.2.3 Skalenabhängigkeit der Störungstheorie 6.2.4 Chirale Extrapolation 6.3 Diskussion der O(a)-Verbesserung 7\. Diskussion 77 Anhang 78 A Konventionen A.1 sigma-Matrizen A.2 gamma-Matrizen B Abschätzung der statistischen Fehler C Die Borel-Transformation D Tabellen Literatur 86In dieser Arbeit untersuchen wir die Vakuumpolarisation mit Gittermethoden. Die Vakuumpolarisation besitzt als Korrelationsfunktion zweier Vektorströme eine Operatorproduktentwicklung. Die Wilson-Koeffizienten sind im massiven Fall sowohl für den führenden 1-Operator als auch für die nächsten Operatoren, das Gluon-Kondensat und das chirale-Kondensat, bis zu 3 loops in alpha_s störungstheoretisch bekannt. Da die Kopplungskonstante alpha_s der starken Wechselwirkung im Grenzfall kleiner Impulsüberträge (q ~ 1 GeV) von der Größenordnung 1 ist - im Unterschied zu alpha_QED ~ 1/137 - ist eine störungstheoretische Bestimmung der Wilson-Koeffizienten in diesem Grenzfall nur eingeschränkt möglich bzw. mit einer großen Unsicherheit behaftet. Neuere phänomenologische Untersuchungen werfen die Frage nach im Niedrigenergiebereich (d.h. q ~ 1 GeV) relevanten power-Korrekturen auf. Auch gibt es einen Hinweis einer Gitterrechnung auf eine power-Korrektur zur Kopplungskonstante alpha_s. Es wurde eine Vakuumpolarisation auf dem Gitter konstruiert, da sich hier ein nicht-störungstheoretischer Zugang zu dieser Observablen findet. Um systematische Fehler durch Störungen proportional zur Gitterkonstanten a zu verringern, arbeiten wir mit dem Symanzik-Verbesserungs-Programm. Wir liefern den Nachweis für den Erfolg dieser Bemühungen und erhöhen damit das Gewicht unserer Untersuchung. Wir extrapolieren unser Resultat in den chiralen Limes und finden für beta = 6.0, 6.2, 6.4 eine im Energiebereich 1GeV < q < 5GeV gute Übereinstimmung zwischen den phänomenologischen Resultaten und den Gitterdaten. Wir finden, dass Renormalonbeiträge der Form 1/q2 zwar nicht ausgeschlossen, eventuelle Beiträge jedoch nicht dominant in diesem Energiebereich sind.In this work we investigate the vacuum polarization with lattice methods. The vacuum polarization, a correlation function of two vector currents, has an operator product expansion. The Wilson coefficients are in the massive case known for the leading 1-operator as well as for the next to leading operators, the gluon condensate and the chiral condensate, to 3 loops in alpha_s. Since the coupling constant of the strong interaction is of order 1 in the limit of small momentum transfer (q ~ 1 GeV) - different to alpha_QED ~ 1/137 - is a perturbatively determinated result of the Wilson coefficients in this limit spoiled by an error. Recent phenomenological investigations show the possibility of in the low energy region (i.e. q ~ 1 GeV) relevant power corrections. Also there is a lattice result giving evidence for a power correction to the coupling constant alpha_s. We construct a vacuum polarization on the lattice, since the lattice provides a non-perturbative approach to this observable. To reduce systematic errors proportional to the lattice spacing a, we work with the Symanzik improvement program. We show the successful application of this technique and make the result more reliable. We extrapolate our result in the chiral limit and get for beta = 6.0, 6.2, 6.4 a good agreement of the lattice data and the phenomenological result in the energy range from 1GeV < q < 5GeV. Renormalon contributions of the form 1/q2 can not be excluded, but shown to be small in this energy range