Numerical methods for the simulation of multiphase flows using population balances

Die Arbeit liefert ein Beitrag zur Numerik von Populationsbilanzsystemen am Beispiel einer tropfenbeladenen Strömung. Sie verfolgt im Wesentlichen zwei Ziele. Zunächst wurden genaue und effiziente Algorithmen zur Simulation eines meteorologisch relevanten Windkanalexperimentes entwickelt und mit Hilfe der Messdaten evaluiert. Zum anderen wurde untersucht, welchen Einfluss die Turbulenz auf das Verhalten der Tropfen ausübt. Bei dem zugrunde liegenden Experiment handelt es sich um eine Zweiphasen-Strömung, bei der kleine Tropfen in einen turbulenten Luftstrom injiziert und von der Strömung mitgerissen werden. Das zur Modellierung des Experimentes verwendete Populationsbilanzsystem ist ein gekoppeltes System, bestehend aus den Navier- Stokes-Gleichung zur Modellierung der Strömung und einer Populationsbilanzgleichung zur Modellierung der Tropfendichteverteilung. Diese Populationsbilanzgleichung modelliert drei Aspekte: die Bewegung der Tropfen in der turbulenten Luftströmung, das Wachstum in übersättigter Luft und die Koaleszenz. Die Gleichung ist direkt in vier Dimensionen modelliert, mit dem Durchmesser als innere Koordinate. Die experimentellen Daten gehen als Einströmbedingung in die Numerik ein. Auch zur Evaluation der Ergebnisse standen Daten zur Verfügung. Die Ergebnisse der Simulationen sind vielversprechend; es konnte eine weitgehende Übereinstimmung mit den experimentellen Daten erzielt werden. Zur Identifikation geeigneter Stabilisierungsmethoden zur Lösung der Populationsbilanzgleichung wurden mehrere Finite-Differenzen- und Finite-Elemente-Stabilisierungsmethoden anhand der Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen miteinander verglichen. Bei den Finite-Differenzen-Methoden kristallisierte sich das ENO-Verfahren heraus, unter den Finite-Elemente-Diskretisierungen erzielte das lineare Gruppen-FEM- FCT-Verfahren den besten Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenzeit. Eine neue Beobachtung ist, dass die FEM-FCT-Verfahren verhältnismäßig starke Verschmierungen zeigen, wenn Konvektionsrichtung und Gitter parallel sind. Diese Methoden wurden zur Diskretisierung der Populationsbilanzgleichung angewendet und zeigten im Wesentlichen das gleiche Verhalten. Zur Auswertung des Koaleszenzterms wurden ebenfalls mehrere Methoden untersucht. Insbesondere wurde eine neue Methode verwendet, die auf im Voraus berechneten Integralen beruht. Vom Aspekt der Genauigkeit, kann jedoch die massenerhaltende Methode empfohlen werden. Sie ist allerdings schwierig zu implementieren und erfordert spezielle Gitter. Für einfache Simulationen genügt eine Gauß-Quadraturmethode. Zur Untersuchung des Einflusses der Turbulenz wurde das Verhalten der Tropfendichteverteilung in zwei unterschiedlichen Luftströmungen untersucht. Betrachtet wurden eine einfache Kanalströmung und ein umströmter Zylinder. Die Kanalströmung ist weitgehend unidirektional, während die Zylinderströmung die typische Karmansche Wirbelstraße aufweist. In den Simulationen wurde festgestellt, dass die Turbulenz das Tropfenwachstum verstärkt. Der Hauptgrund besteht darin, dass die turbulente Luft Tropfen aufeinander zu bewegt und Kollisionen verursacht. Damit wurde die Vermutung, dass Turbulenz ein Tropfenwachstum bewirkt, auch in den numerischen Simulationen dieser Arbeit bestätigt.The used population balance equation contains three aspects: (i) the movement of the droplets in the turbulent air flow, (ii) the growth in supersaturated air, and (iii) the coalescence. The population balance equation has been modeled directly in four dimensions, with the diameter as internal coordinate. Experimental data have been used for the inflow condition of the computational model and for the validation of the numerical results. The results of the simulations are promising, as a substantial agreement with the experimental data was obtained. To identify suitable stabilization methods for the solution of the population balance equation, several finite difference and finite element stabilization methods for convection-diffusion equations were compared. The best compromises between accuracy and computing time were achieved by the ENO method (among the finite difference methods) and by the linear group FEM-FCT method (among the finite element methods). A new observation is that the FEM-FCT method shows relatively strong smearing when the computational grid is parallel to the convection. These methods were applied for the discretization of the population balance equation and they showed essentially the same behavior. Also for the evaluation of the coalescence terms, several methods were investigated. In particular, a new method based on pre-computed integrals was used. Although from the point of view of accuracy a mass-conserving method is recommended, this approach is in general difficult to implement and it requires a special grid. In simple situations, a Gaussian quadrature method is sufficient. To study the influence of turbulence on droplet growth, the behavior of the droplet size distribution was investigated for two different air flows: a turbulent channel flow and a turbulent flow around a cylinder. The channel flow is substantially unidirectional, while in the flow around the cylinder a Karman vortex street develops behind the obstacle. From the simulation results, it could be observed that turbulence increases the droplet growth. The main reason is that the turbulent air moves the drops towards each other, which increases the number of droplet collisions. Thus, the numerical simulations performed in this thesis confirmed also the assumption that turbulence causes droplet growth