Algoritmos de filtro globalmente convergentes

Resumo: Discutimos neste trabalho métodos empregados para resolver problemas de programação não linear em que se deseja minimizar uma função em uma determinada região do espaço multidimensional. Para solucionar tais problemas podemos empregar algoritmos iterativos que geram uma sequência de pontos, a qual esperamos convergir para um ponto estacionário. Uma forma de induzir a convergência é fazer uso do critério de filtro para verificar se um ponto tentativo deve ser aceito como próximo iterando. Para ser aceito pelo filtro, o ponto deve provocar uma redução na função objetivo ou na medida de inviabilidade considerada, quando comparado ao ponto corrente. O ponto pode ser testado por dois tipos de critérios de filtro, original ou inclinado, definidos de acordo com a regra que mede a redução no valor da função objetivo. Neste trabalho apresentamos um algoritmo geral de filtro, globalmente convergente, que não depende do método usado para o cálculo do passo e do critério de filtro considerado. A convergência é garantida desde que o passo satisfação uma condição de eficiência que estabelece que perto de um ponto viável não estacionário a redução na função objetivo é relativamente grande. Mostramos que tal condição é satisfeita por pelo menos dois métodos empregados no cálculo do passo, um de Programação Quadrática Sequencial (PQS) e outro de Restauração Inexata (RI), para ambos os critérios de filtro. Para este primeiro método, apresentamos uma prova geral de que a condição de eficiência é satisfeita, sendo válida tanto para o critério de filtro original quanto inclinado. O algoritmo geral de filtro, bem como os algoritmos internos usados para determinar o passo foram implementados em MATLAB e testes numéricos foram realizados com problemas da coleção CUTEr. Para esses testes não foram observadas diferenças numéricas significativas entre os critérios de filtro, no entanto, o algoritmo de PQS mostrou-se mais robusto que RI e, ainda, mais eficiente em relação de número de avaliações de funções e gradientes. Analisamos também a aplicabilidade dos algoritmos estudados a problemas práticos. Para isso, consideramos um problema de otimização que surge em análise de contábilidade estrutural quando deseja-se determinar a probabilidade de falha de uma estrutura. Testes numéricos foram realizados com alguns problemas especificos da área de contábilidade estrutural e os resultados indicaram que nosso algoritmo geral de filtro pode ser empregado nesse contexto