Tensor Network methods in many-body physics

Strongly correlated systems exhibit phenomena -- such as high-T_c superconductivity or the fractional quantum Hall effect -- that are not explicable by classical and semi-classical methods. Moreover, due to the exponential scaling of the associated Hilbert space, solving the proposed model Hamiltonians by brute-force numerical methods is bound to fail. Thus, it is important to develop novel numerical and analytical methods that can explain the physics in this regime. Tensor Network states are quantum many-body states that help to overcome some of these difficulties by defining a family of states that depend only on a small number of parameters. Their use is twofold: they are used as variational ansatzes in numerical algorithms as well as providing a framework to represent a large class of exactly solvable models that are believed to represent all possible phases of matter. The present thesis investigates mathematical properties of these states thus deepening the understanding of how and why Tensor Networks are suitable for the description of quantum many-body systems. It is believed that tensor networks can represent ground states of local Hamiltonians, but how good is this representation? This question is of fundamental importance as variational algorithms based on tensor networks can only perform well if any ground state can be approximated efficiently in such a way. While any state can be written as a tensor network state, the number of parameters needed for the description might be too large. This is not the case for one-dimensional systems: only a few parameters are required to have a good approximation of their ground states; that, in turn, allows for numerical algorithms based on tensor networks performing well. The situation in two dimensions is somewhat more complicated, but it is known that ground states of local Hamiltonians can be expressed as tensor networks with sub-exponentially many parameters. In the present thesis, we improve on these existing bounds strengthening the claim that the language of tensor networks is suitable to describe many-body systems. Another central question is how symmetries of the system such as translational invariance, time-reversal symmetry or local unitary symmetry can be reflected in tensor networks. This question is important as systems appearing in nature might intrinsically possess certain symmetries; on one hand, understanding these symmetries simplifies the description of these systems. On the other hand, the presence of symmetries leads to the appearance of novel phases -- symmetry-protected topological (SPT) order, -- and tensor networks provide the right language to classify these phases. In one dimension and for certain classes of two-dimensional tensor networks (states generated by so-called injective tensors) it is well understood how symmetries of the state can be described. A general framework, however, has yet to be developed. In the present thesis, we contribute to the development of the theory in two ways. We first investigate the question for injective tensors, and generalize the existing proof for any geometry including the hyperbolic geometry used in the AdS/CFT correspondence. Second, we introduce a class of tensor network states that include previously known examples of states exhibiting SPT order. We show how symmetries are reflected in these states thus deepening the understanding of SPT order in two dimensions.Stark korrelierte Systeme zeigen Phänomene wie Hochtemperatursupraleitung oder den Quanten-Hall-Effekt, die mit klassischen und semiklassischen Methoden nicht erklärbar sind. Da die Dimension des zugrundeliegenden Hilbertraums exponentiell mit der Größe des Systems wächst, versagen viele der traditionellen Ansätze für derartige Systeme. Es ist daher notwendig, neuartige numerische und analytische Methoden zu entwickeln, die die Physik in diesem Bereich erklären können. Tensor-Netzwerkzustände können diese Schwierigkeiten zum Teil überwinden, indem sie eine Familie von Zuständen definieren, die nur von einer kleinen Anzahl von Parametern abhängen. Diese Zustände tragen auf zwei Arten zur Lösung des Problems bei: Erstens werden sie als Variationsansatz in numerischen Algorithmen verwendet. Zweitens bieten sie einen analytischen Zugang zu einer großen Klasse genau lösbarer Modelle, von denen angenommen wird, dass sie alle möglichen Materiephasen repräsentieren. In der vorliegenden Arbeit werden mathematische Eigenschaften dieser Zustände untersucht, wodurch das Verständnis dafür, wie und warum Tensor-Netzwerke für die Beschreibung von Quantensystemen geeignet sind, vertieft wird. Zunächst widmen wir uns der Frage, inwiefern Tensornetzwerke Grundzustände lokaler Hamiltonians darstellen können. Diese Frage ist von grundlegender Bedeutung, da Variationsalgorithmen, die auf Tensornetzwerken basieren, nur dann akkurate Ergebnisse liefern können, wenn der Grundzustand nicht allzu weit von der zugrundeliegenden variationellen Mannigfaltigkeit entfernt ist. Zwar kann prinzipiell jeder Quantenzustand als Tensornetzwerkstatus beschrieben werden. Jedoch ist die Anzahl der für die Beschreibung erforderlichen Parameter möglicherweise extrem groß. Dies ist bei eindimensionalen Systemen nicht der Fall: Nur wenige Parameter sind erforderlich, um eine gute Näherung ihrer Grundzustände zu erhalten. Aufgrund dieser theoretische Grundlage kann darauf vertraut werden, dass die Ergebnisse der tensornetzwerkbasierten Algorithmen akkurat sind. Die Situation in zwei Dimensionen ist komplizierter, aber es ist bekannt, dass Grundzustände lokaler Hamiltonians als Tensornetzwerke mit subexponentiell vielen Parametern ausgedrückt werden können. In der vorliegenden Arbeit verbessern wir diese bestehenden Grenzen und verstärken die Behauptung, dass Tensornetzwerke geeignet ist, Vielteilchensysteme zu beschreiben. Eine weitere zentrale Frage ist, wie Symmetrien des Systems wie Translationsinvarianz, Zeitumkehrsymmetrie oder lokale Symmetrie in Tensornetzwerken reflektiert werden können. Das Verständnis dieser Symmetrien vereinfacht einerseits die Beschreibung der Systeme, in denen diese Symmetrien auftreten. Auf der anderen Seite führt das Vorhandensein von Symmetrien zum Entstehen neuer Phasen - sogenannter “symmetry protected topological phases” (SPT) -, und Tensornetzwerke liefern die richtige Beschreibung, um diese Phasen zu klassifizieren. In einer Dimension und für bestimmte Klassen von zweidimensionalen Tensornetzwerken (Zustände, die von sogenannten injektiven Tensoren erzeugt werden) ist es gut verstanden, wie Symmetrien des physikalischen System sich in ihrer Beschreibung als Tensornetzwerk widerspiegeln. Ein allgemeiner Rahmen muss jedoch noch entwickelt werden. In der vorliegenden Arbeit tragen wir auf zweierlei Weise zur Weiterentwicklung der Theorie bei. Wir untersuchen zunächst die Frage nach injektiven Tensoren und verallgemeinern den vorhandenen Beweis für jede Geometrie, einschließlich der in der AdS / CFT-Korrespondenz verwendeten hyperbolischen Geometrie. Zweitens führen wir eine Klasse von Tensornetzwerkzuständen ein, die bereits bekannte Beispiele für Zustände mit SPT-Ordnung enthalten. Wir zeigen, wie sich Symmetrien in diesen Zuständen widerspiegeln, wodurch das Verständnis der SPT-Ordnung in zwei Dimensionen vertieft wird