Une généralisation d'un théorème de représentation de Bochner pour les fonctionnelles linéaires positives, et applications

Le principal objectif de cet ouvrage est de montrer le théorème de représentation suivant: Soit i) V un treillis vectoriel de fonctions réelles bornées sur un ensemble G, fermé sous les produits et contenant la fonction constante l et ii) A l'algèbre d'ensembles dans G engendrée par la classe Z des ensembles zéros (ou bien par la classe Zc des ensembles cozéros) des fonctions dans V. Alors, étant donné une fonctionnelle linéaire positive L sur V, il existe une fonction d'ensembles additive (formule : voir document) qui est régulière de l'intérieur et de l'extérieur par rapport respectivement à Z et à Zc et qui satisfait la relation: (formule : voir document). Ce résultat permet d'établir un lien entre un théorème de Bochner et des théorèmes de représentation plus récents. Il permet également d'étendre un résultat obtenu par Hewitt pour les fonctionnelles linéaires positives définies sur l'espace des fonctions continues presque périodiques, de fournir une application aux mesures complexes, régulières et boréliennes définies sur les groupes abéliens localement compacts et, finalement, de généraliser en partie une caractérisation des homomorphismes continus due à Sultan ainsi qu'un théorème de présentation démontré par Pollard et Topsoe pour les fonctionnelles linéaires positives ayant la propriété de Daniell. (Une fonctionnelle L , définie sur un espace V de fonctions à valeurs réelles, possède la propriété de Daniell si (formules : voir document) dans V.) La preuve de notre théorème et les applications décrites précédemment seront fournies au chapitre 3 de cet ouvrage. Pour motiver ces résultats, nous donnerons, dans le chapitre 2, une forme équivalente un théorème de représentation classique sur les algèbres de Banach. En terminant, mentionnons que les résultats obtenus dans le chapitre 3 sont, à notre connaissance, originaux et que certains d'entre eux ont été publiés sans démonstration dans les comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences. D'autre part, nous ne prétendons nullement que le résultat principal du chapitre 2 est original. Toutefois, nous ne nous sommes inspirés d'aucun document pour établir le lien existant entre ce dernier résultat et le théorème bien connu sur les algèbres de Banach