Propriétés spectrales des opérateurs linéaires positifs

Le but de ce travail est de montrer comment on peut relier des notions d'ordre pour les opérateurs avec leurs notions spectrales, l'exemple le plus classique étant le Perron-Frobenius. Aussi, nous viserons a retrouver, dans un cadre plus général, des résultats analogues à ceux de Perron-Frobenius. Le premier chapitre regroupe quelques notions utiles à la compréhension des chapitres ultérieurs. La première section concerne les notions d'espaces normés ordonnés; dans la seconde section, nous rappelons les notions qui nous seront nécessaires en théorie spectrale. Le second chapitre vise à expliciter les notions établies au premier chapitre, dans le cas où l'espace considéré est de dimension finie, et à mettre en lumière le rôle de r(A) comme valeur spectrale d'une matrice A en regard de sa positivité. Le dernier chapitre étudie le spectre des opérateurs positifs et strictement positifs dans le cas d'un espace de Banach. Nous mettons en évidence comment certains résultats généralisent ceux du chapitre précédent, surtout quand la quasi-compacité de l'opérateur affecte de façon particulière son spectre. Nous y caractérisons le rayon spectral au moyen de sur-fonctions et de sous-fonctions et nous voyons certaines conditions permettant la convergence de valeurs propres