Quelques problèmes de convergence et de récurrence multiple en théorie ergodique

This thesis is devoted to the study of some questions of multiple convergence and recurrence in ergodic theory. We distinguish between systems endowed with a single transformation and systems endowed with several commuting transformations. In the former, characteristic factors and nilsystemsplay an important role in the study of multiple convergence and recurrence. Using these tools, we extend results on convergence of weighted multiple ergodic averages of Host and Kra for the linear case to the polynomial case. As a consequence, we show that for any bounded measurable function f on an ergodic system, the sequence f(T^n x) is universally good for almost every x. In systems endowed with several commuting transformations, we use the machinery of magic systems introduced recently by Host and further properties of magic systems developed in this thesis,to extend results of Host and Kra on convergence of multiple ergodic averages along cubes with a single transformation to commuting transformations. We obtain a quantitative multiple recurrence result for two commuting transformations, similar in flavour to that of a single transformationestablished by Bergelson, Host and Kra, but with a different conclusionCette thèse est consacrée à l'étude de certaines questions de convergence et de récurrence multiples en théorie ergodique. Nous distinguons les systèmes munis d'une transformation et ceux munis de plusieurs transformations qui commutent. Dans les premiers, le mécanisme de facteurs caractéristiques et les nilsystèmes jouent un rôle important dans l'étude de convergence et de récurrence multiples. À l'aide de ces outils, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiquesmultiples pondérées de Host et Kra pour le cas linéaire au cas polynômial. En conséquence, nous montrons que pour toute fonction f mesurable bornée sur un système ergodique, la suite (f(T^n x)) est universellement bonne pour presque tout x. Quand il y a plusieurs transformations qui commutent, à l'aide de la machinerie des systèmes magiques introduite récemment par Host et développée dans cette thèse, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiques multiples sur les cubes de Host et Kra avec une transformation à plusieurs transformations qui commutent. Nous obtenons aussi un résultat de récurrence multiple quantitatif pour deux transformations qui commutent, similaire en faveur du cas d'une transformation établi par Bergelson, Host et Kr