Contribution à l'homogénéisation de matériaux hétérogènes viscoélastiques : milieux aléatoires et périodiques et prise en compte des interfaces

Pas de résumé en anglaisDans le calcul des structures, la prise en compte des effets dus aux déformations différées des matériaux, spécialement le fluage des matériaux, est un aspect important. Il provoque des déplacements au cours du temps pour les systèmes statiques et des redistributions des efforts intérieurs dans les systèmes hyperstatiques. Dans le cas des matériaux hétérogènes, il y a généralement une phase caractérisée par un fluage beaucoup plus important. Le cas extrême est celui de l'eau dans le béton au jeune age, où l'on peut considérer que la viscosité vient principalement de la présence de l'eau. Toutefois, l'obtention des propriétés effectives d'un tel matériau hétérogène est un cas particulier d'un matériau hétérogène comportant des phases viscoélastiques. La prédiction des propriétés effectives d'un matériau hétérogène composé de phases viscoélastiques a fait l'objet de plusieurs travaux. Ce mémoire entre dans ce cadre. Il existe différentes méthodes pour traiter ce problème. L'utilisation de méthodes utilisant des variables cachées permet par exemple de traiter le cas de matériaux vieillissants. Toutefois, de nombreux travaux ont été réalisés en utilisant des solutions élastiques grâce à la similitude des équations de la viscoélasticité dans le domaine de Laplace Carson avec les équations de l'élasticité. Cette similitude, connue sous le nom de principe de correspondance (Maldel 1966 [46] ; Lee 1961 [42] ; Yves Rougier, Claude Stolz et André Zaoui 1993 [66]; Stéphan Beurthey et André Zaoui [4]) permet d'obtenir des relations explicites des lois de relaxation et de fluage, dans le cas où l'inverse de la transformée de Laplace-Carson est explicite. Le cas où le spectre dans ledomaine de Laplace-Carson est continu conduit à une expression peu pratique des lois de relaxation et de fluage. Ce mémoire est donc limité au cas où la transformée de Laplaceest traitée pour un spectre discret. En restant dans ce cadre, on peut noter que le problème a été traité d'abord dans le cas du modèle de Mori-Tanaka (Y.M.Wang et G.J.Weng [75] ; L.C.Brinson et W.S.Lin [9] ; Le QV [41]) qui permet d'obtenir une expression explicite de la transformée de Laplace. Compte tenu des limitations de ce modèle, plusieurs travaux ont porté sur le Schéma Auto Cohérent Généralisé (ACG). Toutefois dans ce cas, on obtient un spectre continu et la transformée de Laplace inverse comporte une partie qui n'est pas analytique et se présente sous forme d'intégrale (Yves Rougier [66] ; Beuthey et Zaoui [4]). Une possibilité pour approcher l'inverse de Laplace est d'utiliser l'approximation de Padé comme décrit par Mikhail F. Selivanov et Yuri A. Chernoivan [69]. Le schéma autocohérent généralisé rend compte de façon approximative de la structure du matériau à l'échelle microscopique. Aussi, nous nous sommes intéressés aux méthodes utilisant la Transformée de Fourier, méthodes permettant de prendre de façon explicite la géométrie de la microstructure. Le mémoire est structuré de la façon suivante : les deux premiers chapitres comportent peu de résultats originaux mais présentent les principaux aspects liés aux techniques d'homogénéisation qui seront étendues dans la suite du mémoire (chapitre 1) et au traitement des problèmes liés à la viscoélasticité par utilisation du principe de correspondance. Le chapitre 3 traite de deux extensions du Schéma Auto Cohérent Généralisé (ACG). La première extension porte sur une approximation simple permettant de rendre explicite la transformée de Laplace inverse de la solution obtenue pour le schéma ACG. La deuxième extension porte sur la prise en compte d'interfaces imparfaites. Les deux derniers chapitres portent sur la mise en oeuvre de méthodes reposant sur la transformée de Fourier qui permettent de prendre explicitement en compte la géométrie de la microstructure (...