Options américaines et processus de Lévy

Financial markets have known from the studies conducted during the last three decades , a considerable expansion and an emergence of diverse and varied products. Among the most common , there are American options. An American option is by definition an option that has the right to be practiced before the agreed maturity T. The most basic are the American Put or Call ( respectively put option (K - x ) + or purchase (x - K) +). The first part of this thesis is devoted to the study of American options in exponential Lévy models . First, we consider the multidimensional framework and a pay-off function not necessarily bounded and we characterize the price of an American option using a variational inequality in the distribution sense . We study then the properties of the exercise region. These results are further refined by studying in particular the area of exercise of an American Call on a basket of assets as well as the exercise boundary region ( at maturity ). In a second step , we study the behavior of the critical price ( function defining the exercise area) and the behavior studying an American Put near maturity in one-dimensional framework. Specifically, we consider the case where the price does not converge to the strike K in a Jump- diffusion model and a model where the Lévy process behaves to an alpha-stable process (alpha stable like). The second part deals with the pricing of the Credit Valuation Adjustment (CVA ) . It presents a method based on Malliavin calculus inspired by the methods used for American options . A study of the complexity of this method is also presented and compared to purely Monte Carlo methods and to methods based on regression.Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l'apparition de produits dérivés divers et variés. Parmi les plus répandus, on retrouve les options américaines. Une option américaine est par définition une option qu'on a le droit d'exercer avant l'échéance convenue T. Les plus basiques sont le Put ou le Call américain (respectivement option de vente (K - x)+ ou d'achat (x - K)+). La première partie, et la plus conséquente, de cette thèse est consacrée à l'étude des options américaines dans des modèles exponentiels de Lévy. On commence dans un cadre multidimensionnel caractérise le prix d'une option américaine, dont le Pay-off appartient à une classe de fonctions non forcément bornées, à l'aide d'une inéquation variationnelle au sens des distributions. On étudie, ensuite, les propriétés générales de la région d'exercice ainsi que de la frontière libre. On affine encore ces résultats en étudiant, en particulier, la région d'exercice d'un Call américain sur un panier d'actifs, où on caractérise en particulier la région d'exercice limite (à l'échéance). Dans un deuxième temps, on se place dans un cadre unidimensionnel et on étudie le comportement du prix critique (fonction délimitant la région d'exercice) d'un Put américain près de l'échéance. Particulièrement, on considère le cas où le prix ne converge pas vers le strike K, dans un modèle Jump-diffusion puis dans un modèle où le processus de Lévy est à saut pur avec un comportement proche de celui d'un &-stable. La deuxième partie porte sur l'approximation numérique de la Credit Valuation Adjustment (CVA). On y présente une méthode basée sur le calcul de Malliavin inspirées de celles utilisées pour les options américaines. Une étude de la complexité de cette méthode y est aussi présentée et comparée aux méthodes purement Monte Carlo et aux méthodes fondées sur la régression