Généralisation non-commutative de résultats probabilistes en théorie des représentations

The subject of this thesis is the non-commutative generalization of some probabilistic results that occur in representation theory. The results of the thesis are divided into three different parts. In the first part of the thesis, we classify all unitary easy quantum groups whose intertwiner spaces are described by non-crossing partitions, and develop the Weingarten calculus on these quantum groups. As an application of the previous work, we recover the results of Diaconis and Shahshahani on the unitary group and extend those results to the free unitary group. In the second part of the thesis, we study the free wreath product. First, we study the free wreath product with the free symmetric group by giving a description of the intertwiner spaces: several probabilistic results are deduced from this description. Then, we relate the intertwiner spaces of a free wreath product with the free product of planar algebras, an object which has been defined by Bisch and Jones. This relation allows us to prove the conjecture of Banica and Bichon. In the last part of the thesis, we prove that the minimal and the Martin boundaries of a graph introduced by Gnedin and Olshanski are the same. In order to prove this, we give some precise estimates on the uniform standard filling of a large ribbon Young diagram. This yields several asymptotic results on the filling of large ribbon Young diagramsLe sujet de cette thèse est la généralisation non-commutative de résultats probabilistes venant de la théorie des représentations. Les résultats obtenus se divisent en trois parties distinctes. Dans la première partie de la thèse, le concept de groupe quantique easy est étendu au cas unitaire. Tout d'abord, nous donnons une classification de l'ensemble des groupes quantiques easy unitaires dans le cas libre et classique. Nous étendons ensuite les résultats probabilistes de au cas unitaire. La deuxième partie de la thèse est consacrée à une étude du produit en couronne libre. Dans un premier temps, nous décrivons les entrelaceurs des représentations dans le cas particulier d'un produit en couronne libre avec le groupe symétrique libre: cette description permet également d'obtenir plusieurs résultats probabilistes. Dans un deuxième temps, nous établissons un lien entre le produit en couronne libre et les algèbres planaires: ce lien mène à une preuve d'une conjecture de Banica et Bichon. Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions un analoque du graphe de Young qui encode la structure multiplicative des fonctions fondamentales quasi-symétriques. La frontière minimale de ce graphe a déjà été décrite par Gnedin et Olshanski. Nous prouvons que la frontière minimale coïncide avec la frontière de Martin. Au cours de cette preuve, nous montrons plusieurs résultats combinatoires asymptotiques concernant les diagrammes de Young en ruba