Géométrie des espaces de tenseurs, application à l'élasticité anisotrope classique et généralisée

Le thème principal de ces travaux est l'étude et la détermination des propriétés effectives des matériaux architecturés. Ce problème est envisagé via l'utilisation d'outils issus de la théorie de représentation de groupes. Ceci découpe l'exposé en deux parties :Représentation de groupe et milieux continus : L'objectif est de développer des outils généraux pour la manipulation des objets tensoriels. Les problèmes que nous avons traités jusqu'alors sont : la détermination des classes de symétrie d'un tenseur de comportementd'ordre n ; le calcul d'une base d'invariants tensoriels polynomiaux (base d'intégrité) pour l'élasticité linéaire.L'outil central à l'analyse de ces problèmes est la décomposition harmonique des tenseurs, c'est-à-dire la décomposition en parties irréductibles pour l'action du groupe des rotations. Les résultats obtenus permettent une analyse ne de l'élasticité anisotrope classique et servent de guide pour l'exploration des milieux continus généralisés.Modélisation des milieux architecturés par des modèles généralisés : L'objectif est de déterminer des milieux de substitutions conservant, demanière continue, des aspects du comportement discret. Cette détermination consiste en le choix d'un milieu de substitution adapté, ainsi qu'en la détermination des coefficients du modèle. Du fait de la multiplicité des milieux généralisés possibles, le choix d'un milieu pertinent n'est pas évident. De fait il est intéressant de pouvoir déterminer des critères permettant de décider, pour une situation donnée, quel est le type de milieu de substitution adapté. La décomposition harmonique des tenseurs d'état permet d'analyser le problème a priori et, dans certain cas, de décider quelle extension cinématique prendre en compte pour modéliser un phénomène physique donné